Question

100 б. Найти значение производной y=x^3+1/x^3-1 в точке x0=2. Записать уравнение касательной к графику функции y=x^4+3x^2+10 в точке x0=-1

Answer 1

Объяснение:

1)

$y=\frac{x^3+1}{x^3-1} \ \ \ \ \ \ \ x_0=2\ \ \ \ \ y'(2)=?\\y'=(\frac{x^3+1}{x^3-1})'=\frac{(x^3+1)'*(x^3-1)-(x^3+1)*(x^3-1)'}{(x^3-1)^2}=\frac{3x^2*(x^3-1)-(x^3+1)*3x^2}{(x^3-1)^2} =\\ =\frac{3x^5-3x^2-3x^5-3x^2}{(x^3-1)^2} =-\frac{6x^2}{(x^3-1)^2} .\\y'(2)=-\frac{6*2^2}{(2^3-1)^2} =-\frac{6*4}{(8-1)^2} =-\frac{24}{7^2}=-\frac{24}{49}.$

2)

$y=x^4+3x^2+10\ \ \ \ x_0=-1\ \ \ \ y_k=?\\y_k=y(x_0)+y'(x_o)*(x-x_0)\\y(-1)=(-1)^4+3*(-1)^2+10=1+3*1+10=1+3+10=14.\\y'=(x^4+3x^2+10)'=4x^3+6x.\\y'(-1)=4*(-1)^3+6*(-1)=4*(-1)-6=-4-6=-10.\ \ \ \ \Rightarrow\\y_k=14+(-10)*(x-(-1))=14-10*(x+1)=14-10x-10=-10x+4.\\y_k=-10x+4.$

Ответ: yk=-10x+4.

Answer 2

Для нахождения значения производной функции y = x^3 + 1/x^3 - 1 в точке x₀ = 2, сначала найдем производную этой функции и затем подставим x₀ = 2 в полученное выражение.

1. Найдем производную функции y = x^3 + 1/x^3 - 1:

   y' = d/dx [x^3] + d/dx [1/x^3] - d/dx [1]

   Используя правила дифференцирования, получаем:

   y' = 3x^2 - 3/x^4

2. Теперь подставим x₀ = 2 в выражение для производной:

   y'(2) = 3*(2^2) - 3/(2^4)

   y'(2) = 12 - 3/16

   y'(2) = 192/16 - 3/16

   y'(2) = (192 - 3) / 16

   y'(2) = 189/16

Таким образом, значение производной функции y = x^3 + 1/x^3 - 1 в точке x₀ = 2 равно 189/16.

Для нахождения уравнения касательной к графику функции y = x^4 + 3x^2 + 10 в точке x₀ = -1, используем формулу для уравнения касательной в точке (x₀, y₀):

y - y₀ = m(x - x₀),

где m - значение производной функции в точке x₀.

1. Сначала найдем значение функции в точке x₀ = -1:

   y₀ = (-1)^4 + 3(-1)^2 + 10 y₀ = 1 + 3 + 10 y₀ = 14

2. Теперь найдем значение производной функции в точке x₀ = -1, используя производную функции y = x^4 + 3x^2 + 10:

   y' = d/dx [x^4 + 3x^2 + 10]

   y' = 4x^3 + 6x

   y'(-1) = 4(-1)^3 + 6(-1) y'(-1) = -4 - 6 y'(-1) = -10

3. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

   y - 14 = -10(x - (-1))

   y - 14 = -10(x + 1)

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = x^4 + 3x^2 + 10 в точке x₀ = -1 имеет вид:

y = -10(x + 1) + 14