Question

Найдите cos (a-B) sin(a-B) если sin a=5/13 cos b=24/25,а и б углы первой четверти

Answer 1

Ответ:

Заданы углы 1 четверти. Все тригонометрические функции там положительны .

$\displaystyle sina=\frac{5}{13}\ \ \to \ \ \ cosa=\sqrt{1-sin^2a}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}\ ;\\\\\\ cos\beta =\frac{24}{25}\ \ \to \ \ \ sin\beta =\sqrt{1-cos^2\beta }=\sqrt{1-\frac{576}{625}}=\sqrt{\frac{49}{625}}=\frac{7}{25}\ ;$

Вычислим по формулам косинус и синус разности углов .

$\displaystyle cos(a-\beta )=cosa\cdot cos\beta +sina\cdot sin\beta =\frac{12}{13}\cdot \frac{24}{25}+\frac{5}{13}\cdot \frac{7}{25}=\frac{288+35}{13\cdot 25}=\frac{323}{325}\\\\\\ sin(a-\beta )=sina\cdot cos\beta -cosa\cdot sin\beta =\frac{5}{13}\cdot \frac{24}{25}-\frac{12}{13}\cdot \frac{7}{25}=\frac{120-84}{13\cdot 25}=\frac{36}{325}$  

Найдём произведение функций.

$cos(a-\beta )\cdot sin(a-\beta )=\dfrac{323}{325}\cdot \dfrac{36}{325}=\dfrac{11628}{105625}\approx 0,1101$  

Answer 2

Давайте сначала найдем значения sin(a) и cos(b) для углов a и b в первой четверти, зная, что sin(a) = 5/13 и cos(b) = 24/25.

В первой четверти угол a имеет sin(a) = 5/13 и cos(a) = sqrt(1 - sin(a)^2) = sqrt(1 - (5/13)^2) = 12/13.

Аналогично, угол b имеет cos(b) = 24/25, поэтому sin(b) = sqrt(1 - cos(b)^2) = sqrt(1 - (24/25)^2) = 7/25.

Теперь мы можем использовать формулы для cos(a - b) и sin(a - b):

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Подставим известные значения:

cos(a - b) = (12/13)(24/25) + (5/13)(7/25) = 288/325 + 35/325 = 323/325

sin(a - b) = (5/13)(24/25) - (12/13)(7/25) = 120/325 - 84/325 = 36/325

Теперь найдем произведение cos(a - b) и sin(a - b):

cos(a - b) * sin(a - b) = (323/325) * (36/325) = 11688/105625 ≈ 0.1110 (приблизительно до четырех знаков после запятой).