Question

Розв'яжіть нерівність a) x^2 +3x -4 > 0; 6) x^2 + x + 1 > 0; B) (4x-16)(2-x) ≤

Answer 1

Ответ:

a)   х ∈ (-∞;  -4) ∪ (1; ∞)

6) х ∈ R

В)  х ∈ (-∞; 2] ∪ [4; ∞)

Объяснение:

a)  x² +3x - 4 > 0

Находим решение уравнения

x² +3x - 4 = 0

D = b² -4ac = 9 -4*1*(-4) = 9+16=25

$></p> <p>Наносим эти значения на координатную прямую и вычисляем знаки на каждом интервале</p> <p><img src=$

знаки смотрим так: берем любое число на интервале, подставляем в уравнение и смотрим знак.

Для неравенства выбираем интервалы, где   x² +3x - 4 > 0

Таким образом ответ  х < -4;   x > 1 или  х ∈ (-∞;  -4) ∪ (1; ∞)

6) x² + x + 1 > 0;

В уравнении  а=1;  b=1;  c=1.

Поскольку коэффициент при х²  равен 1, что больше 0, то ветви параболы направлены вверх.

Уравнение x² + x + 1 = 0 не имеет решения, т.к. дискриминант

D = b² -4ac = 1 - 4*1*1 = -3    отрицательный.

Следовательно, график функции не пересекает ось ОХ.

И, таким образом, неравенство выполняется при любом х.

х ∈ R

B) (4x-16)(2-x) ≤ 0

Корни уравнения (4x-16)(2-x) = 0

х₁ = 4  (4х-16=0  ⇒ 4х=16   ⇒   х=4)

х₂ = 2  (2 - х = 0  ⇒ х=2)

Наносим эти значения на числовую ось и смотрим знаки на каждом интервале

$\overbrace{..........}^{\boldsymbol -}\; [2] \overbrace{..............}^{\boldsymbol +} [4] \overbrace{................}^{\boldsymbol -}$

таким образом, решение неравенства

х ≤ 2;  х ≥ 4

или х ∈ (-∞; 2] ∪ [4; ∞)

Answer 2

a) Для розв'язання нерівності x^2 + 3x - 4 > 0, спершу знайдемо корені квадратного рівняння x^2 + 3x - 4 = 0:

x^2 + 3x - 4 = 0

(x + 4)(x - 1) = 0

Отже, ми маємо два корені: x1 = -4 і x2 = 1.

Тепер використаємо метод інтервалів для визначення, в яких інтервалах нерівність виконується:

1. Розглянемо інтервал (-безкінечність, -4). Виберемо точку, наприклад, x = -5 і підставимо її в нерівність:

(-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6

6 > 0

Таким чином, нерівність виконується на цьому інтервалі.

2. Розглянемо інтервал (-4, 1). Виберемо точку, наприклад, x = 0 і підставимо її в нерівність:

0^2 + 3(0) - 4 = -4

-4 < 0

На цьому інтервалі нерівність не виконується.

3. Розглянемо інтервал (1, +безкінечність). Виберемо точку, наприклад, x = 2 і підставимо її в нерівність:

2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6

6 > 0

Таким чином, нерівність виконується на цьому інтервалі.

Отже, розв'язок нерівності x^2 + 3x - 4 > 0 це (-безкінечність, -4) об'єднано з (1, +безкінечність).

b) Нерівність x^2 + x + 1 > 0 є квадратичною нерівністю. Для її розв'язання використаємо метод дискримінанту. Дискримінант D визначається так:

D = b^2 - 4ac

У нашому випадку a = 1, b = 1 і c = 1, отже:

D = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3

Дискримінант від'ємний, що означає, що квадратне рівняння x^2 + x + 1 = 0 не має дійсних коренів, і тому воно не перетинає вісь x. Таким чином, нерівність x^2 + x + 1 > 0 виконується на всьому відрізку числової прямої. Розв'язок цієї нерівності - це усі дійсні числа.

B) Для розв'язання нерівності (4x - 16)(2 - x) ≤ 0, спочатку знайдемо точки, в яких вона може змінити знак:

1. Знайдемо корені обох дужок: a) 4x - 16 = 0 4x = 16 x = 4

   b) 2 - x = 0 2 = x

Отже, ми маємо дві точки, де нерівність може змінити знак: x = 4 і x = 2.

Тепер використаємо метод інтервалів для визначення, в яких інтервалах нерівність виконується:

1. Розглянемо інтервал (-безкінечність, 2). Виберемо точку, наприклад, x = 0 і підставимо її в нерівність:

(4(0) - 16)(2 - 0) ≤ 0

(-16)(2) ≤ 0

-32 ≤ 0

Нерівність виконується на цьому інтервалі.

2. Розглянемо інтервал (2, 4). Виберемо точку, наприклад, x = 3 і підставимо її в нерівність:

(4(3) - 16)(2 - 3) ≤ 0

(12 - 16)(-1) ≤ 0

(-4)(-1) ≤ 0

4 ≤ 0

На цьому інтервалі нерівність не виконується.

3. Розглянемо інтервал (4, +безкінечність). Виберемо точку, наприклад, x = 5 і підставимо її в нерівність:

(4(5) - 16)(2 - 5) ≤ 0

(20 - 16)(-3) ≤ 0

(4)(-3) ≤ 0

-12 ≤ 0

Нерівність виконується на цьому інтервалі.

Отже, розв'язок нерівності (4x - 16)(2 - x) ≤ 0 це (-безкінечність, 2] об'єднано з [4, +безкінечність).