Question

Найдите корни симметричного многочлена: x⁴+2x³-x²+2x+1ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО!!!!!​

Answer 1

Ответ:

Для нахождения корней симметрического многочлена 4 степени, решим уравнение.

 $\bf x^4+2x^3-x^2+2x+1=0\ \ \Big |:x^2\ne 0$  

Так как х=0 не является корнем многочлена (проверяем, подставив вместо х число 0 в многочлен), то можно уравнение разделить на х²$\bf x^2+2x-1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \Big(x^2+\dfrac{2}{x^2}\Big)+2\Big(x+\dfrac{1}{x}\Big)-1=0$  

Замена :   $\bf t=x+\dfrac{1}{x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ t^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2}\ \ ,\ \ \ x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2$  

Уравнение перепишем в виде  $\bf t^2-2+2t-1=0\ \ ,\ \ t^2+2t-3=0$  .

Корни кв. уравнения равны   $\bf t_1=-3\ ,\ t_2=1\ \ (Viet)$  .

Вернёмся к старой переменной .

$\bf a)\ \ x+\dfrac{1}{x}=-3\ \ ,\ \ \dfrac{x^2+3x+1}{x}=0\ \ ,\ \ x^2+3x=1=0\\\\D=b^2-4ac=9-4=5\ \ ,\ \ x_{1,2}=\dfrac{-3\pm \sqrt5}{2}\\\\\\b)\ \ x+\dfrac{1}{x}=-1\ \ ,\ \ \dfrac{x^2+x+1}{x}=0\ \ ,\ \ x^2+x+1=0\\\\D=b^2-4ac=1-4=-3 < 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \varnothing$  

Ответ:   $\bf x_1=-\dfrac{3+\sqrt5}{2}\ ,\ x_2=\dfrac{\sqrt5-3}{2}$   .

Answer 2

Для нахождения корней данного симметричного многочлена x⁴ + 2x³ - x² + 2x + 1, мы можем воспользоваться различными методами, включая рациональный корень теоремы и синтетическое деление. Давайте попробуем найти корни.

1. Сначала проверьте рациональные корни согласно теореме о рациональных корнях. Эта теорема утверждает, что рациональные корни многочлена p(x) имеют вид ±p/q, где p - делитель свободного члена (в данном случае 1), а q - делитель старшего коэффициента (в данном случае 1). Таким образом, рациональные корни могут быть ±1.

2. Подставьте эти значения в многочлен, чтобы проверить, являются ли они корнями:

   • При x = 1: (1⁴ + 21³ - 1² + 21 + 1) = 1 + 2 - 1 + 2 + 1 = 5.
   • При x = -1: ((-1)⁴ + 2*(-1)³ - (-1)² + 2*(-1) + 1) = 1 - 2 - 1 - 2 + 1 = -3.

3. Как видите, ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена. Это означает, что многочлен x⁴ + 2x³ - x² + 2x + 1 не имеет рациональных корней.

4. Вы можете попробовать найти корни численными методами, такими как метод Ньютона, используя начальные приближения, но в данном случае это будет сложно решить вручную без использования компьютера.

Если у вас есть доступ к программе для численного анализа, вы можете воспользоваться ей для нахождения численных приближенных корней этого многочлена.