Question

Розв’язати рівняння: х 3 +2х 2 -18х-36=0.

Answer 1

$x3 + 2 \times 2 - 18x - 36 = 0$

$3x + 4 - 18x - 36 = 0$

$- 15x - 32 = 0$

$- 15x = 32$

$x = - \frac{32}{15}$

Answer 2

Для розв'язання кубічного рівняння $x^3 + 2x^2 - 18x - 36 = 0$, ми можемо спробувати знайти його раціональні корені за допомогою теореми Раціональних коренів. Згідно з цією теоремою, всі раціональні корені цього рівняння будуть дільниками вільного члена (-36) поділеними на всі можливі дільники старшого коефіцієнта (1).

Можливі дільники -36 це: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36.

Тепер ми можемо використовувати ці дільники для перевірки, чи є раціональні корені:

1. Підставимо $x = 1$: $1^3 + 2 \cdot 1^2 - 18 \cdot 1 - 36 = 1 + 2 - 18 - 36 = -51$

2. Підставимо $x = -1$: $(-1)^3 + 2 \cdot (-1)^2 - 18 \cdot (-1) - 36 = -1 + 2 + 18 - 36 = -17$

3. Підставимо $x = 2$: $2^3 + 2 \cdot 2^2 - 18 \cdot 2 - 36 = 8 + 8 - 36 - 36 = -56$

4. Підставимо $x = -2$: $(-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 - 18 \cdot (-2) - 36 = -8 + 8 + 36 - 36 = 0$

Отже, $x = -2$ - це один із раціональних коренів цього рівняння.

Тепер ми можемо поділити рівняння на $(x + 2)$, щоб знайти інші корені. Використовуючи синтетичне ділення або метод ділення стовпчиком, ми можемо знайти інший різницевий член:

$$\begin{array}{c|ccccc} -2 & 1 & 2 & -18 & -36 \\ & & -2 & 0 & 36 \\ \hline & 1 & 0 & -18 & 0 \\ \end{array}$$

Отже, ми отримали квадратне рівняння $x^2 - 18 = 0$, яке має два різних раціональних корені:

1. З $x^2 - 18 = 0$ ми отримуємо $x^2 = 18$, і, отже, $x = \sqrt{18}$ або $x = -\sqrt{18}$.

2. Так як $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ і $-\sqrt{18} = -3\sqrt{2}$, то рішеннями цього квадратного рівняння є $x = 3\sqrt{2}$ і $x = -3\sqrt{2}$.

Отже, розв'язки кубічного рівняння $x^3 + 2x^2 - 18x - 36 = 0$ це -2, 3√2 і -3√2.