Question

4 cos²x+8 sin x + 1 = 0.Подать в градусах .Срочно!!!!!!​

Answer 1

Основное тригонометрическое тождество и следствие из него:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1\Rightarrow \cos^2\alpha =1-\sin^2\alpha$

Рассмотрим уравнение:

$4\cos^2x+8\sin x + 1 = 0$

$4(1-\sin^2x)+8\sin x + 1 = 0$

$4-4\sin^2x+8\sin x + 1 = 0$

$-4\sin^2x+8\sin x + 5= 0$

$4\sin^2x-8\sin x - 5= 0$

Решаем квадратное уравнение относительно синуса:

$D=(-4)^2-4\cdot(-5)=16+20=36$

$\sin x\neq \dfrac{4+\sqrt{36} }{4} =\dfrac{4+6}{4} =2.5 > 1$

$\sin x=\dfrac{4-\sqrt{36} }{4} =\dfrac{4-6}{4} =-\dfrac{1}{2}$

Первое решение далее не рассматриваем, так как синус принимает значения из отрезка от -1 до 1.

Рассматриваем второе решение:

$\sin x=-\dfrac{1}{2}$

$x=(-1)^k\arcsin\left(-\dfrac{1}{2} \right)+180^\circ \cdot k$

$x=(-1)^k\cdot(-30^\circ)+180^\circ\cdot k$

$\boxed{x=(-1)^{k+1}\cdot30^\circ+180^\circ\cdot k,\ k\in\mathbb{Z}}$

Answer 2

Чтобы решить уравнение 4cos²x + 8sinx + 1 = 0, давайте сначала преобразуем его с использованием тригонометрических идентичностей:

4cos²x + 8sinx + 1 = 0

Используем идентичность sin²x + cos²x = 1:

4(1 - sin²x) + 8sinx + 1 = 0

Теперь раскроем скобки:

4 - 4sin²x + 8sinx + 1 = 0

Подставим -4sin²x + 8sinx вместо 4sin²x + 8sinx:

-4sin²x + 8sinx + 5 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sinx:

-4sin²x + 8sinx + 5 = 0

Давайте решим его сначала относительно sinx:

-4sin²x + 8sinx + 5 = 0

Сделаем замену переменной, например, y = sinx:

-4y² + 8y + 5 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого можно использовать дискриминант:

D = b² - 4ac

где a = -4, b = 8 и c = 5. Подставим значения:

D = (8)² - 4(-4)(5) = 64 + 80 = 144

Теперь используем формулу для решения квадратного уравнения:

y = (-b ± √D) / (2a)

y₁ = (-8 + √144) / (2(-4)) = (-8 + 12) / (-8) = 4 / (-8) = -0.5 y₂ = (-8 - √144) / (2(-4)) = (-8 - 12) / (-8) = -20 / (-8) = 2.5

Так как sinx находится в диапазоне от -1 до 1, то у нас есть только одно допустимое значение для y, которое равно -0.5.

Теперь найдем обратную функцию sinx = y и рассчитаем угол в градусах:

sinx = -0.5

x = arcsin(-0.5)

x ≈ -30 градусов или 210 градусов (в пределах 360 градусов).

Таким образом, уравнение 4cos²x + 8sinx + 1 = 0 имеет решения x ≈ -30 градусов и x ≈ 210 градусов.