Question

30 БАЛЛОВ! Помогите пожалуйста, буду очень благодарна!! 1) sin²2x-sin²x=0,5; 2) sin²x-cos²x=-0,5​

Answer 1

1)sin²2x – sin²x = 0,5

Сначала воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

sin 2x = 2sin x cos x

Тогда можем переписать данное уравнение в виде:

2sin x cos x * (sin x + 1) * (sin x - 1/2) = 0

Следовательно, развязки могут быть:

sin x = 0

cos x = 0

sin x = -1 (тогда sin x + 1 = 0)

sin x = 1/2 (тогда sin x – 1/2 = 0)

Решая каждое из этих уравнений, мы получаем:

sin x = 0 => x = kπ, где k – целое число

cos x = 0 => x = (k + 1/2)π, где k – целое число

sin x = -1 => x = 3π/2 + 2kπ, где k – целое число

sin x = 1/2 => x = π/6 + 2kπ или x = 5π/6 + 2kπ, где k – целое число

2)sin²x – cos²x = -0,5

Сначала воспользуемся формулой разности квадратов:

sin²x – cos²x = (sin x + cos x) * (sin x – cos x)

Итак, имеем уравнение:

(sin x + cos x)*(sin x – cos x) = -0,5

Обратите внимание, что значение левой части уравнения может быть от –1 до 1, а значение правой части уравнения – от –0.5 до 0. Поэтому это уравнение не имеет решений.

Следовательно, решений для этого уравнения не существует.

Answer 2

Давайте решим каждое уравнение по отдельности:

1. sin²2x - sin²x = 0.5

Для упрощения этого уравнения мы можем использовать тригонометрический идентичность:

sin²2x = 2sinx·cosx·2sinx·cosx = 4sinx·cosx·sinx·cosx = 4sinx²·cos²x

Теперь наше уравнение выглядит так:

4sinx²·cos²x - sin²x = 0.5

Теперь заменим sin²x и cos²x идентичностью sin²x + cos²x = 1:

4(1 - cos²x)cos²x - (1 - cos²x) = 0.5

Теперь давайте раскроем скобки:

4cos²x - 4cos⁴x - 1 + cos²x = 0.5

Теперь соберем все члены в одной стороне и упростим:

4cos⁴x - 5cos²x + 1 = 0

Теперь давайте введем новую переменную. Обозначим cos²x как t:

4t² - 5t + 1 = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно t. Мы можем решить его, используя квадратное уравнение:

Для начала, выразим t как:

t = (5 ± √(5² - 4·4·1)) / (2·4)

t = (5 ± √(25 - 16)) / 8

t = (5 ± √9) / 8

Теперь вычислим два значения t:

1. t₁ = (5 + 3) / 8 = 8/8 = 1
2. t₂ = (5 - 3) / 8 = 2/8 = 1/4

Теперь вернемся к исходной переменной, cos²x:

1. cos²x = 1
2. cos²x = 1/4

Для первого случая:

cosx = ±1

Для второго случая:

cosx = ±1/2

Теперь найдем значения x:

Для первого случая:

x = arcsin(1) = π/2 + 2πn, где n - целое число.

Для второго случая:

x = arcsin(1/2) = π/6 + 2πn или x = π - π/6 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, у нас есть бесконечное множество решений для каждого случая.

2. sin²x - cos²x = -0.5

Для этого уравнения также можно использовать тригонометрические идентичности:

sin²x - cos²x = -0.5

Теперь заменим sin²x и cos²x идентичностью sin²x + cos²x = 1:

1 - 2cos²x = -0.5

Теперь давайте решим это уравнение:

-2cos²x = -0.5 - 1

-2cos²x = -1.5

cos²x = 1.5 / 2

cos²x = 0.75

Теперь найдем значения x:

cosx = ±√0.75

cosx = ±√(3/4)

cosx = ±√3 / 2

Таким образом, у нас есть два возможных значения для cosx:

1. cosx = √3 / 2
2. cosx = -√3 / 2

Теперь найдем значения x:

1. x = arccos(√3 / 2) = π/6 + 2πn, где n - целое число.
2. x = arccos(-√3 / 2) = 5π/6 + 2πn, где n - целое число.

Таким образом, у нас также есть бесконечное множество решений для этого уравнения.