Question

876. В равнобедренный треугольник, основание которого равно 8 см, а прилежащий к нему угол равен 30°, вписан круг. Какова вероятность того, что произвольно взятая точка треугольника принадлежит этому кругу?

Answer 1

Для решения этой задачи нам нужно определить радиус вписанного круга и площадь треугольника, а затем применить формулу вероятности.

Радиус вписанного круга может быть найден с помощью формулы:

r = a * sin(α/2)

где r - радиус круга, a - длина стороны треугольника, α - угол при основании треугольника.

В данном случае, угол при основании равен 30 градусам, а длина основания равна 8 см. Так как треугольник равнобедренный, то длина боковой стороны также равна 8 см. Поэтому:

r = 8 * sin(30/2) ≈ 2.31 см

Чтобы найти площадь треугольника, мы можем воспользоваться формулой Герона:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))

где S - площадь треугольника, p - полупериметр (p = (a + b + c)/2), a, b, c - длины сторон треугольника.

В данном случае, треугольник равнобедренный, поэтому a = b = 8 см. Полупериметр равен:

p = (8 + 8 + c)/2 = (16 + c)/2 = 8 + c/2

где c - длина боковой стороны. Из равнобедренности треугольника также следует, что:

c = 2 * a * sin(α/2) = 8 * sin(30/2) = 2.31 * 8 / 4 ≈ 4.62 см

Теперь мы можем вычислить полупериметр:

p = 8 + 4.62/2 ≈ 10.31 см

И площадь треугольника:

S = √(10.31(10.31-8)(10.31-8)(10.31-4.62)) ≈ 23.67 см²

Наконец, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри треугольника принадлежит вписанному кругу, равна отношению площади круга к площади треугольника:

P = Sкруга/Sтреугольника = πr²/Sтреугольника

где Sкруга - площадь круга, r - его радиус.

В нашем случае, радиус круга равен 2.31 см, поэтому площадь круга равна:

Sкруга = πr² ≈ 16.76 см

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что произвольно взятая точка внутри равнобедренного треугольника принадлежит вписанному кругу, нам нужно определить отношение площади круга к площади треугольника. Мы знаем, что основание треугольника равно 8 см, и прилежащий к нему угол равен 30°, что делает этот треугольник равносторонним.

Площадь равнобедренного треугольника можно найти, используя формулу для площади треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

Высоту треугольника можно найти, используя тригонометрические соотношения для прямоугольного треугольника. Мы знаем, что угол при основании равен 30°, поэтому можно использовать тригонометрическую функцию тангенса:

тангенс(30°) = высота / (1/2 * основание)

Высота = тангенс(30°) * (1/2 * 8 см) = (1/√3) * 4 см = (4/√3) см

Теперь, мы можем найти площадь равнобедренного треугольника:

Площадь треугольника = (1/2) * 8 см * (4/√3) см = (4/√3) * 4 см² = (16/√3) см²

Теперь, чтобы найти площадь вписанного круга, мы знаем, что он целиком внутри треугольника, и его радиус равен половине высоты треугольника:

Радиус круга = (1/2) * (4/√3) см = (2/√3) см

Площадь круга можно найти, используя формулу для площади круга:

Площадь круга = π * (радиус)² = π * ((2/√3) см)² = (4π/3) см²

Теперь, чтобы найти вероятность того, что произвольно выбранная точка принадлежит кругу, мы делим площадь круга на площадь треугольника:

Вероятность = (Площадь круга) / (Площадь треугольника) = ((4π/3) см²) / ((16/√3) см²) = (4π/3) / (16/√3) = (4π/3) * (√3/16) = (π/4)

Итак, вероятность того, что произвольно выбранная точка внутри равнобедренного треугольника принадлежит вписанному кругу, равна π/4, или примерно 0.7854 (округлено до четырех знаков после запятой).