Question

Решите дробно-рациональное неравенство (x-2)(x+5)/(x-3)>0​

Answer 1

Ответ: x∈ (-5;2)U(3;∞)

Объяснение:  см файл

Answer 2

Чтобы решить данное дробно-рациональное неравенство, мы должны определить интервалы, на которых выражение (x-2)(x+5)/(x-3) больше нуля (положительно).

1. Начнем с поиска корней уравнения в знаменателе (x-3) = 0. Решим это уравнение:

   x - 3 = 0 x = 3

Значит, у нас есть вертикальная асимптота при x = 3.

2. Теперь найдем корни уравнения в числителе (x-2)(x+5) = 0:

   x - 2 = 0 => x = 2 x + 5 = 0 => x = -5

Значит, у нас есть корни x = 2 и x = -5.

3. Теперь разделим весь вещественный числовой ряд на интервалы, определенные найденными корнями (x = -5, x = 2 и x = 3):

   a) x < -5 b) -5 < x < 2 c) 2 < x < 3 d) x > 3

4. Определим знак выражения (x-2)(x+5)/(x-3) на каждом из этих интервалов.

   a) x < -5: Подставим x = -6 в выражение: (-6 - 2)(-6 + 5)/(-6 - 3) = (-8)(-1)/(-9) = 8/9 > 0

   b) -5 < x < 2: Подставим x = 0 в выражение: (0 - 2)(0 + 5)/(0 - 3) = (-2)(5)/(-3) = 10/3 > 0

   c) 2 < x < 3: Подставим x = 2.5 в выражение: (2.5 - 2)(2.5 + 5)/(2.5 - 3) = (0.5)(7.5)/(-0.5) = -7.5 < 0

   d) x > 3: Подставим x = 4 в выражение: (4 - 2)(4 + 5)/(4 - 3) = (2)(9)/1 = 18 > 0

5. Теперь мы знаем знак выражения на каждом интервале:

   a) x < -5: положительное b) -5 < x < 2: положительное c) 2 < x < 3: отрицательное d) x > 3: положительное

Теперь соберем все интервалы, на которых выражение положительно:

Ответ: x принадлежит объединению интервалов (-5 < x < 2) и (x > 3), то есть x принадлежит множеству (-5 < x < 2) ∪ (x > 3).