Question

10. Первый, третий и пятый члены геометрической прогрессии являются Соответственно первым, четвертым и шестнадцатым членами арифметической прогрессии. Найдите четвертый член арифметической прогрессии, если ее разность равна 3.​

Answer 1

Ответ:

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а ее знаменатель - q. Тогда:

Первый член арифметической прогрессии a1=a=1

Третий член геометрической прогрессии a3=aq^2=16

Пятый член геометрической прогрессии a5=aq^4

Из первых двух уравнений находим, что:

q^2 = 16/a

q = sqrt(16/a)

Подставив в третье уравнение, получим:

a sqrt(16/a)^4 = a sqrt(16/a) * 81

256 = a^3 * 81

a = 4/3

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии равен:

q = sqrt(16/(4/3)) = 2

Разность арифметической прогрессии равна 3, то есть:

a4 = a1 + 3d

a4 = 1 + 3d

Четвертый член геометрической прогрессии равен:

a4 = aq^3 = (4/3)*2^3 = 32/3

Теперь можем найти d по формуле для разности арифметической прогрессии:

3 = a4 - a1 = (32/3) - 1 = 29/3

d = 29/9

Таким образом, четвертый член арифметической прогрессии равен:

a4 = 1 + 3d = 1 + 3*(29/9) = 10

Answer 2

Давайте обозначим первый член геометрической прогрессии как "a", а её знаменатель (отношение между членами) как "q". Тогда первый, третий и пятый члены геометрической прогрессии будут следующими:

1. Первый член: a
2. Третий член: a * q^2
3. Пятый член: a * q^4

Теперь давайте рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью "d". Первый, четвёртый и шестнадцатый члены арифметической прогрессии будут следующими:

1. Первый член: a (это первый член геометрической прогрессии)
2. Четвёртый член: a + 3d (так как разность равна 3)
3. Шестнадцатый член: a + 15d (по определению арифметической прогрессии)

Теперь у нас есть соответствие между членами геометрической и арифметической прогрессий:

1. a = a
2. a * q^2 = a + 3d
3. a * q^4 = a + 15d

Давайте решим эту систему уравнений. Сначала выразим "a" из первого уравнения:

a = a

Теперь выразим "a" из второго уравнения:

a * q^2 = a + 3d a = (a + 3d) / q^2

Теперь подставим это выражение для "a" в третьем уравнении:

(a + 3d) / q^2 * q^4 = (a + 15d)

Упростим уравнение:

(a + 3d) * q^2 = a + 15d

Теперь можем решить это уравнение относительно "q":

q^2(a + 3d) = a + 15d

q^2 = (a + 15d) / (a + 3d)

q = sqrt((a + 15d) / (a + 3d))

Теперь, когда мы знаем значение "q", мы можем найти четвёртый член арифметической прогрессии:

Четвёртый член: a + 3d

Подставляем значение "a" из выражения выше:

Четвёртый член: ((a + 3d) / q^2) + 3d

Теперь мы можем подставить значение "q" из выражения выше:

Четвёртый член: ((a + 3d) / (sqrt((a + 15d) / (a + 3d))^2)) + 3d

Четвёртый член: ((a + 3d) / ((a + 15d) / (a + 3d))) + 3d

Теперь упростим это уравнение:

Четвёртый член: (a + 3d) * ((a + 3d) / (a + 15d)) + 3d

Четвёртый член: ((a + 3d)^2 / (a + 15d)) + 3d

Теперь мы можем вычислить значение четвёртого члена арифметической прогрессии, используя известные значения "a" и "d".