Question

100 баллов, даю максимум. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 6-x^2, y=x+4. Пожалуйста, нужно полное решение с пошаговым объяснением всех действий и построений.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Всё на фото)

Удачи)

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя кривыми $y = 6 - x^2$ и $y = x + 4$, вам нужно найти точки их пересечения и затем вычислить интеграл от разности этих функций на соответствующем интервале.

Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых $y = 6 - x^2$ и $y = x + 4$. Для этого приравняем их:

$6 - x^2 = x + 4$

Перенесем $x$ на одну сторону уравнения:

$6 - 4 = x + x^2$

$2 = x + x^2$

Это уравнение квадратичной функции. Приведем его к стандартному виду:

$x^2 + x - 2 = 0$

Теперь решим это уравнение с помощью квадратного уравнения или факторизации:

$(x + 2)(x - 1) = 0$

Из этого уравнения получаем два значения $x$:

1. $x = -2$
2. $x = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя оба уравнения:

Для $x = -2$:

$y = 6 - (-2)^2 = 6 - 4 = 2$

Для $x = 1$:

$y = 1 + 4 = 5$

Таким образом, точки пересечения кривых $y = 6 - x^2$ и $y = x + 4$ - это $(-2, 2)$ и $(1, 5)$.

Шаг 2: Теперь давайте построим график этих двух кривых и определим интервал, на котором мы будем вычислять интеграл.

Для построения графика вы можете использовать программы, такие как Desmos или ручное построение на бумаге. Графики будут выглядеть примерно так:

График кривой $y = 6 - x^2$ - это парабола, открывшаяся вниз, которая проходит через точку $(-2, 2)$ и устремляется к $-\infty$ на бесконечности.

График кривой $y = x + 4$ - это прямая линия с угловым коэффициентом 1 и проходит через точку $(1, 5)$.

Графически область между этими двумя кривыми будет выглядеть как ограниченная область между параболой и прямой. Мы будем вычислять площадь этой области.

Шаг 3: Теперь, чтобы вычислить площадь этой области, давайте найдем точки пересечения кривых $y = 6 - x^2$ и $y = x + 4$ и установим пределы интегрирования.

По графику видно, что кривые пересекаются на интервале $[-2, 1]$, поэтому мы будем интегрировать от -2 до 1.

Шаг 4: Теперь, чтобы найти площадь этой области, мы будем интегрировать разность между $y = 6 - x^2$ и $y = x + 4$ по интервалу $[-2, 1]$:

$S = \int_{-2}^{1} ((6 - x^2) - (x + 4)) dx$

Теперь вычислим этот интеграл:

$S = \int_{-2}^{1} (6 - x^2 - x - 4) dx$

$S = \int_{-2}^{1} (2 - x^2 - x) dx$

Теперь возьмем интеграл по каждому слагаемому:

$S = \left[2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]_{-2}^{1}$

Теперь подставим верхний и нижний пределы:

$S = \left[2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2}\right] - \left[2(-2) - \frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2}\right]$

$S = \left[2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right] - \left[-4 + \frac{8}{3} - 2\right]$