Question

Знайдіть область визначення функції y = √x+4 + (5-x / x^2-1)

Answer 1

$\displaystyle\bf y = \sqrt{x + 4} + \frac{5 - x}{ {x}^{2} - 1 } \\ \left \{ {{x + 4 \geqslant 0} \atop { {x}^{2} - 1\neq0 }} \right. \\ \displaystyle\bf\\\left \{ {{x \geqslant - 4} \atop {(x - 1)(x + 1)\neq0 }} \right. \\ \displaystyle\bf\\\left \{ {{x \geqslant - 4} \atop {x\neq1 \: \: \: and \: \: \: x\neq - 1 }} \right. \\ \\ x \: \epsilon \: [ - 4; \: - 1)U( - 1; \: 1)U(1; \: + \propto)$

Answer 2

Для знаходження області визначення цієї функції потрібно врахувати, де функція може бути визначеною без обмежень і де вона може мати обмеження через ділення на нуль або вираз під коренем, що не може бути від'ємним.

1. Вираз під коренем виглядає так: √x + 4. Цей вираз може бути від'ємним або нульовим, тобто:

   x + 4 ≥ 0 x ≥ -4

   Тобто функція визначена для x ≥ -4.

2. У виразі (5 - x) / (x^2 - 1) є два можливих джерела обмежень:

   a. Ділення на нуль: Цей вираз буде невизначеним, коли знаменник рівний нулю, тобто x^2 - 1 = 0. Розв'язавши це рівняння, отримуємо:

   x^2 - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0

   З цього рівняння отримуємо два значення, при яких вираз буде невизначеним: x = 1 та x = -1. Тобто функція не визначена при x = 1 і x = -1.

   b. Знаменник не може бути рівним нулю: Знаменник x^2 - 1 не може дорівнювати нулю, оскільки це призведе до ділення на нуль. Однак ми вже виявили, що він дорівнює нулю при x = 1 і x = -1. Тобто x не може дорівнювати 1 або -1.

Отже, область визначення функції y = √x + 4 + (5 - x) / (x^2 - 1) включає всі значення x, такі що x ≥ -4, але не включає x = 1 і x = -1. Тобто:

Область визначення: x ∈ (-∞, -4) ∪ (-4, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, +∞)