Question

Решите уравнение x⁴+x³-8x²+3x+5=0

Answer 1

Сначала хотел решить подстановкой, но это как-то слишком тяжело получается. Не думаю, что нужно решать именно ей, поэтому попытался разложить уравнение, и в целом получилось. По шагам распишу

$x^4+x^3-8x^2+3x+5=0$

Расписываем $x^3$ как  $-x^3+2x^3$, $-8x^2$ как $-x^2-2x^2-5x^2$ и $3x$ как $-2x+5x$. Получаем

$x^4-x^3+2x^3-x^2-2x^2-5x^2-2x+5x+5=0$

Немного переставлю местами для удобства:

$x^4-x^3-x^2+2x^3-2x^2-2x-5x^2+5x+5=0$

Теперь выносим общие множители:

$x^2(x^2-x-1)+2x(x^2-x-1)-5(x^2-x-1)=0$

Выносим $(x^2-x-1)$:

$(x^2-x-1)(x^2+2x-5)=0$

Произведение равно 0, когда 1 из множителей равен 0, следовательно нужно решить 2 квадратных уравнения

$x^2-x-1=0$ или $x^2+2x-5=0$

Решаем первое:

$x^2-x-1=0\\\\D=(-1)^2-4\times(-1)=1+4=5=\sqrt{5} ^2\\\\x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5} }{2} =\bigg[^\bigg{\dfrac{1+\sqrt{5} }{2}}_\bigg{\dfrac{1-\sqrt{5} }{2} }$

Решаем второе:

$x^2+2x-5=0\\D=2^2-4\times(-5)=4+20=24=4\times6=(2\sqrt{6} )^2\\\\x_{3,4}=\dfrac{-2\pm2\sqrt{6} }{2} =\bigg[^\bigg{\dfrac{-2+2\sqrt{6} }{2}=-1+\sqrt{6} }_\bigg{\dfrac{-2-2\sqrt{6} }{2} =-1-\sqrt{6} }$

Ответ:

$\displaystyle x_1=\frac{1+\sqrt{5} }{2} ;x_2=\frac{1-\sqrt{5} }{2} ;x_3=-1+\sqrt{6} ;x_4=-1-\sqrt{6}$

Answer 2

Решение уравнения x⁴ + x³ - 8x² + 3x + 5 = 0 может быть достаточно сложным аналитически, и обычно для таких уравнений используют численные методы или специализированные программы. Однако я могу предложить попробовать найти корни этого уравнения численным методом, например, методом Ньютона.

Метод Ньютона для нахождения корней уравнения f(x) = 0 предполагает итерационный процесс, который начинается с начального приближения и последовательно улучшает его. Для вашего уравнения f(x) = x⁴ + x³ - 8x² + 3x + 5, мы начнем с некоторого начального приближения x₀ и будем итеративно обновлять значение x с помощью следующей формулы:

x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀),

где f'(x₀) - производная функции f(x) по x в точке x₀.

Давайте начнем итерации с какого-то начального приближения, например, x₀ = 1:

x₁ = 1 - (1⁴ + 1³ - 8·1² + 3·1 + 5) / (4·1³ + 3·1² - 16·1 + 3) = 1 - 0 / 4 = 1.

Теперь мы получили новое значение x₁. Мы можем продолжить итерации, обновляя x по формуле, пока не получим приближенное значение корня с необходимой точностью.

Я могу продолжить итерации для вас, но обратите внимание, что этот метод может потребовать множество итераций, и вам, возможно, потребуется использовать компьютер или программное обеспечение для вычисления корней уравнения с большей точностью.