Question

Задано функцію f (x) = 2x³ − 12x²+ 18x. Знайдіть екстремуми і проміжки монотонності цієї функції.​

Answer 1

f(x) = 2x³ - 12x² + 18x

D(f) = (-∞; +∞)

Найдем производную функции:

f'(x) = 2 * 3x² - 12 * 2x + 18

f'(x) = 6x² - 24x + 18

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

6x² - 24x + 18 = 0  | : 6

x² - 4x + 3 = 0

D = 16 - 12 = 4 = 2²

x₁ = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1

x₂ = (4 + 2)/2 = 6/2 = 3

Отметим эти точки на координатной прямой. Они делят прямую на промежутки. Взяв любую точку из каждого промежутка и подставив её в производную получим следующие знаки:

++++++++++++(1)-------------(3)+++++++++>

В точке 1 производная меняет свой знак от "+" на "-". Значит в точке 1 функция достигает своего максимума. Аналогично, в точке 3 функция достигает своего минимума.

Поскольку производная положительна в промежутках (-∞; 1)  и (3; +∞), то в этих промежутках функция монотонно возрастает, а в промежутке (1; 3) она монотонно убывает, так как производная на этом промежутке отрицательная.

Answer 2

Для знаходження екстремумів та проміжків монотонності функції f(x) = 2x³ - 12x² + 18x спершу знайдемо її похідну та точки, в яких похідна дорівнює нулю. Екстремуми функції будуть розташовані в цих точках. Далі вивчимо знак похідної на проміжках між цими точками, щоб знайти проміжки монотонності.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = d/dx (2x³ - 12x² + 18x)

Використовуючи правила похідної, отримаємо: f'(x) = 6x² - 24x + 18

2. Знайдемо точки, в яких f'(x) = 0, щоб знайти можливі екстремуми: 6x² - 24x + 18 = 0

Ділимо обидві сторони рівняння на 6, щоб спростити: x² - 4x + 3 = 0

Це квадратне рівняння можна розв'язати за допомогою факторизації: (x - 3)(x - 1) = 0

Отже, маємо дві точки, де похідна дорівнює нулю: x₁ = 3 та x₂ = 1.

3. Тепер вивчимо знак похідної на проміжках між цими точками та поза ними. Для цього можна взяти тестові точки на цих проміжках та після точок x = 3 і x = 1.

a) Для x < 1, оберемо x = 0 (тестова точка): f'(0) = 6(0)² - 24(0) + 18 = 18 > 0

Отже, на проміжку (-∞, 1), похідна додатня, і функція зростає.

b) Для 1 < x < 3, оберемо x = 2 (тестова точка): f'(2) = 6(2)² - 24(2) + 18 = 6 > 0

На проміжку (1, 3), похідна також додатня, і функція зростає.

c) Для x > 3, оберемо x = 4 (тестова точка): f'(4) = 6(4)² - 24(4) + 18 = -6 < 0

На проміжку (3, ∞), похідна від'ємна, і функція спадає.

4. Зведемо отримані результати разом:

• Функція має локальний мінімум у точці x = 1 (f(1) = 2(1)³ - 12(1)² + 18(1) = 8).
• Функція має локальний максимум у точці x = 3 (f(3) = 2(3)³ - 12(3)² + 18(3) = 18).

Проміжки монотонності:

• Функція зростає на проміжках (-∞, 1) та (1, 3).
• Функція спадає на проміжку (3, ∞).

Це є відповідями на ваше запитання щодо екстремумів та проміжків монотонності функції f(x).