Question

Если sinx+cosx=0,75 найдите sin^3x +cos^3x

Answer 1

Ответ:

Вычислим произведение синуса на косинус , зная что

$\bf sinx+cosx=0,75\ \ ,\ \ \ sinx+cosx=\dfrac{3}{4}\ \ \Rightarrow \ \ \ (sinx+cosx)^2=\dfrac{9}{16}\ ,\\\\\\\underbrace{\bf sin^2x+cos^2x}_{1}+2\cdot sinx\cdot cosx=\dfrac{9}{16}\ \ ,\ \ \ \ 2\cdot sinx\cdot cosx=\dfrac{9}{16}-1\\\\\\2\cdot sinx\cdot cosx=-\dfrac{7}{16}\ \ \ ,\ \ \ sinx\cdot cosx=-\dfrac{7}{32}$  

Теперь разложим на множители сумму кубов по известной формуле

$\bf sin^3x+cos^3x=(sinx+cosx)(sin^2x-sinx\cdot cosx+cos^2x)\\\\sin^3x+cos^3x=\dfrac{3}{4}\cdot \Big(1+\dfrac{7}{32}\Big)=\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{39}{32}=\dfrac{117}{128}$    

Answer 2

Для нахождения значения выражения sin^3(x) + cos^3(x), мы можем воспользоваться формулой суммы кубов:

a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

В данном случае a = sin(x) и b = cos(x), а также у нас есть уравнение sin(x) + cos(x) = 0.75. Мы можем решить это уравнение относительно одной из переменных и затем подставить в формулу для sin^3(x) + cos^3(x).

1. Решим уравнение sin(x) + cos(x) = 0.75 относительно sin(x): sin(x) = 0.75 - cos(x)

2. Теперь мы можем подставить это значение в формулу для sin^3(x) + cos^3(x):

   sin^3(x) + cos^3(x) = [(0.75 - cos(x))^3] + cos^3(x)

3. Теперь у нас есть выражение только с одной переменной cos(x). Раскроем скобки и упростим:

   sin^3(x) + cos^3(x) = (0.421875 - 2.25cos(x) + 3.375cos^2(x) - 1.5cos^3(x)) + cos^3(x)

4. Теперь сложим все коэффициенты при cos(x) и cos^2(x):

   sin^3(x) + cos^3(x) = 0.421875 + (-2.25 + 3.375 - 1.5)cos^2(x)

5. Упростим выражение:

   sin^3(x) + cos^3(x) = 0.421875 - 0.375cos^2(x)

Теперь у нас есть окончательное выражение для sin^3(x) + cos^3(x) в зависимости от cos(x). Если вам нужно значение этого выражения, вам потребуется дополнительная информация о значении cos(x) или использование численных методов для его вычисления.