Question

У геометричній прогресії (bn) b(n) = 3, q =0,5, S(n) = 93. Знайдіть b(1), n.​

Answer 1

У геометричній прогресії формула для загального члена bn виглядає наступним чином:

bn = b1 * q^(n-1),

де b1 - перший член прогресії, q - знаменник прогресії, n - номер члена.

В даному випадку, bn = 3 і q = 0,5. Знаючи значення bn, ми можемо записати:

3 = b1 * 0,5^(n-1).

Також, нам дано сума прогресії S(n) = 93. Формула для суми прогресії S(n) виглядає так:

S(n) = b1 * (1 - q^n) / (1 - q).

Підставимо в цю формулу відомі значення:

93 = b1 * (1 - 0,5^n) / (1 - 0,5).

Тепер у нас є дві рівняння з двома невідомими (b1 і n), і ми можемо вирішити їх методом підстановки або еквівалентними перетвореннями.

Після розв'язання системи рівнянь ми знайдемо значення b1 і n, що відповідають умовам задачі.

Answer 2

У геометричній прогресії (г.п.) загальний член bₙ виражається як:

$bₙ = b₁ * q^(n-1)$

де:

• $b₁$ - перший член послідовності
• $q$ - знаменник прогресії

Також в геометричній прогресії для суми $n$ перших членів $Sₙ$ використовується наступна формула:

$Sₙ = b₁ * \frac{{qⁿ - 1}}{{q - 1}}$

Вам дано, що $bₙ = 3$, $q = 0,5$ та $Sₙ = 93$.

Підставимо $bₙ$ та $q$ у формулу загального члена:

$3 = b₁ * (0,5)^(n-1)$

Також вам дано, що $Sₙ = 93$, тобто:

$93 = b₁ * \frac{{(0,5)ⁿ - 1}}{{0,5 - 1}}$

Спростимо дріб:

$93 = b₁ * \frac{{(0,5)ⁿ - 1}}{{-0,5}}$

\[b₁ * (1 - (0,5)ⁿ) = -46,5\) \[b₁ * (0,5)ⁿ = 47,5\) Далі, враховуючи, що \(bₙ = 3\) та \(q = 0,5\), можна сказати, що \(b₁ = 6\). Отже, ми маємо: \[6 * (0,5)ⁿ = 47,5\] \[0,5ⁿ = \frac{{47,5}}{6}\] \[0,5ⁿ ≈ 7,92\] Тепер використовуючи логарифми, знайдемо значення \(n\): \[n ≈ \log_{0,5}(7,92)\] \[n ≈ 4,67\] Оскільки \(n\) повинно бути цілим числом, то найближче ціле значення \(n\) дорівнює 5. Отже, \(b₁ = 6\) і \(n = 5\).