Question

ДАМ 30 БАЛІВ Розв'яжіть рівняння: a) 4x2+lyl=x2; б) |х-2|-у4=|3x-6|; в) 10x-lyl= x2 + 25; г)|y +4|+ |3x + 2|= 0.

Answer 1

Ответ:

а) Для решения уравнения 4x^2 + |y| = x^2, мы можем рассмотреть два случая, в зависимости от знака y.

1. Если y ≥ 0, тогда |y| = y, и уравнение принимает вид:

4x^2 + y = x^2

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

3x^2 + y = 0

2. Если y < 0, тогда |y| = -y, и уравнение принимает вид:

4x^2 - y = x^2

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

3x^2 - y = 0

Таким образом, уравнение имеет два варианта решений:

1) 3x^2 + y = 0 при y ≥ 0

2) 3x^2 - y = 0 при y < 0

б) Для решения уравнения |x - 2| - y/4 = |3x - 6|, мы также рассмотрим несколько случаев.

1. Если (x - 2) ≥ 0 и (3x - 6) ≥ 0, то уравнение принимает вид:

(x - 2) - y/4 = 3x - 6

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

x - 3x = 2 - 6 + y/4

-2x = -4 + y/4

-8x = -16 + y

y = -8x + 16

2. Если (x - 2) ≥ 0 и (3x - 6) < 0, то уравнение принимает вид:

(x - 2) - y/4 = -(3x - 6)

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

x - 3x = 2 + y/4 - 6

-2x = -4 + y/4

-8x = -16 + y

y = -8x + 16

3. Если (x - 2) < 0 и (3x - 6) ≥ 0, то уравнение принимает вид:

-(x - 2) - y/4 = 3x - 6

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

- x + 2 - y/4 = 3x - 6

-4x + 8 - y = 12x - 24

-16x = -y + 16

y = 16x + 16

4. Если (x - 2) < 0 и (3x - 6) < 0, то уравнение принимает вид:

-(x - 2) - y/4 = -(3x - 6)

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

- x + 2 - y/4 = -3x + 6

-4x + 8 - y = -12x + 24

8x = y + 16

y = 8x - 16

Таким образом, уравнение имеет несколько вариантов решений в зависимости от знаков и значения переменных x и y.

в) Для решения уравнения 10x - |y| = x^2 + 25, мы рассмотрим два случая, в зависимости от знака y.

1. Если y ≥ 0, то уравнение принимает вид:

10x - y = x^2 + 25

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

x^2 - 10x + y - 25 = 0

2. Если y < 0, то уравнение принимает вид:

10x + y = x^2 + 25

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

x^2 - 10x - y + 25 = 0

Таким образом, уравнение имеет два варианта решений:

1) x^2 - 10x + y - 25 = 0 при y ≥ 0

2) x^2 - 10x - y + 25 = 0 при y < 0

г) Для решения уравнения |y + 4| + |3x + 2| = 0, мы рассмотрим несколько случаев.

1. Если (y + 4) ≥ 0 и (3x + 2) ≥ 0, то уравнение принимает вид:

(y + 4) + (3x + 2) = 0

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

y + 3x = -6

2. Если (y + 4) ≥ 0 и (3x + 2) < 0, то уравнение принимает вид:

(y + 4) - (3x + 2) = 0

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

y - 3x = -2

3. Если (y + 4) < 0 и (3x + 2) ≥ 0, то уравнение принимает вид:

-(y + 4) + (3x + 2) = 0

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

- y + 3x = -6

4. Если (y + 4) < 0 и (3x + 2) < 0, то уравнение принимает вид:

-(y + 4) - (3x + 2) = 0

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

- y - 3x = -6

Таким образом, уравнение имеет несколько вариантов решений в зависимости от знаков и значения переменных x и y.

Answer 2

Для кожного з рівнянь розглянемо їхні розв'язки:

a) 4x^2 + |y| = x^2

Спершу віднімемо x^2 від обох боків:

3x^2 + |y| = 0

Це рівняння не має розв'язків, оскільки квадратний доданок (3x^2) завжди буде невід'ємним, і модуль |y| також завжди невід'ємний. Тобто, ліва сторона ніколи не може дорівнювати нулю.

б) |x - 2| - |3x - 6| = |y|^4

Розділимо рівняння на частини:

1. Перша частина рівняння:

|x - 2| - |3x - 6| = |y|^4

Спростимо вирази у модулях:

|x - 2| - |3x - 6| = |y|^4 |x - 2| - |3(x - 2)| = |y|^4 |x - 2| - |3(x - 2)| = |y|^4 |x - 2| - |3x - 6| = |y|^4

2. Друга частина рівняння:

|y|^4 = |y|^4

Ця частина рівняння завжди істинна, оскільки будь-яке число, піднесене до 4-ї ступені, завжди дорівнює своєму квадрату.

Отже, рівняння має безліч розв'язків для будь-яких значень x та y.

в) 10x - |y| = x^2 + 25

Для цього рівняння спершу віднімемо 10x від обох боків:

-|y| = x^2 - 10x + 25

Тепер, помножимо обидві сторони на -1, щоб позбутися мінуса перед модулем:

|y| = -x^2 + 10x - 25

Також важливо зазначити, що значення на правій стороні виразу завжди будуть невід'ємними, оскільки x^2 завжди дорівнює або більше нуля, і -x^2 завжди менше нуля. Тобто, модуль |y| завжди буде більше або дорівнювати 25.

Отже, це рівняння не має розв'язків, оскільки модуль |y| не може бути менше 25.

г) |y + 4| + |3x + 2| = 0

Сума двох модулів завжди дорівнює або більше нуля. Оскільки сума модулів рівна нулю у цьому рівнянні, то вона може дорівнювати тільки нулю. Тобто:

|y + 4| = 0 і |3x + 2| = 0

З першого рівняння отримуємо:

y + 4 = 0 y = -4

З другого рівняння отримуємо:

3x + 2 = 0 3x = -2 x = -2/3

Отже, єдиний розв'язок цього рівняння - це x = -2/3 і y = -4.