Question

5. x; у; z составляют геометрическую прогрессию. x; y - 8; z - составляют арифметическую прогрессию. x+y+z= -7. Найдите х, у и z. ​

Answer 1

Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

$2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}$

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

$b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$

Поскольку числа x; у; z составляют геометрическую прогрессию, то:

$y^2=xz$

Поскольку числа x; y-8; z составляют арифметическую прогрессию, то:

$2(y-8)=x+z$

Кроме этого, известно дополнительное условие:

$x+y+z= -7$

Получим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

$\begin{cases} y^2=xz\\ 2(y-8)=x+z \\ x+y+z= -7\end{cases}$

Из последнего уравнения выразим сумму x+z:

$x+z=-7-y$

Поставим во второе уравнение:

$2(y-8)=-7-y$

$2y-16=-7-y$

$2y+y=16-7$

$3y=9$

$y=3$

Поставим значение y в первые два уравнения системы:

$\begin{cases} xz=9 \\ x+z=-10 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим z:

$z=-10-x$

Поставим в первое уравнение:

$x(-10-x)=9$

$-10x-x^2=9$

$x^2+10x+9=0$

Поскольку сумма старшего коэффициента и свободного члена равна второму коэффициенту, то первый корень уравнения равен (-1), а второй - равен отношению свободного члена к старшему коэффициенту, взятому с противоположным знаком:

$x_1=-1;\ x_2=-9$

Найдем соответствующие значения z:

$z_1=-10-(-1)=-9$

$z_2=-10-(-9)=-1$

Таким образом, имеется две тройки чисел (x; y; z):

(-1; 3; -9) и (-9; 3; -1).

Ответ: (-1; 3; -9) и (-9; 3; -1)

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

У нас есть геометрическая прогрессия, в которой x, y и z являются элементами. Для геометрической прогрессии отношение каждого следующего элемента к предыдущему элементу одинаково. Пусть это отношение будет q. Таким образом, у нас есть следующие равенства:

1. y = x * q
2. z = y * q = x * q^2

Теперь у нас есть арифметическая прогрессия с элементами x, y - 8 и z. В арифметической прогрессии разница между каждым следующим элементом и предыдущим элементом одинакова. Пусть это разница будет d. Таким образом, у нас есть следующие равенства:

1. y - 8 = x + d
2. z - y = y - 8 - (x + d)

Мы также знаем, что сумма всех элементов x, y и z равна -7:

x + y + z = -7

Теперь у нас есть система уравнений с тремя неизвестными (x, y и z), и мы можем решить ее. Давайте начнем с решения первых двух уравнений:

1. y = x * q
2. z = x * q^2

Теперь мы можем заменить y и z в уравнениях для арифметической прогрессии:

1. (x * q) - 8 = x + d
2. (x * q^2) - (x * q) = (x * q) - 8 - (x + d)

Теперь мы имеем два уравнения с двумя неизвестными (x и q). Решим их:

1. x * q - 8 = x + d
2. x * q^2 - x * q - x * q + 8 - x - d = 0

Упростим второе уравнение:

x * q^2 - 2 * x * q + 8 - x - d = 0

Теперь мы можем выразить x из первого уравнения:

x * q - 8 = x + d x * q - x = 8 + d x * (q - 1) = 8 + d

x = (8 + d) / (q - 1)

Теперь, когда у нас есть x, мы можем найти y и z, используя уравнения для геометрической прогрессии:

y = x * q z = x * q^2

И наконец, мы можем использовать уравнение для суммы x + y + z = -7, чтобы найти q:

x + y + z = -7 (8 + d) / (q - 1) + (8 + d) / (q - 1) * q + (8 + d) / (q - 1) * q^2 = -7

Теперь у нас есть система уравнений с тремя неизвестными (x, y и z), и мы можем решить ее, зная значение d:

1. x = (8 + d) / (q - 1)
2. y = x * q
3. z = x * q^2

Таким образом, решение зависит от значения параметра d, которое нам не известно. Если бы у нас было значение d, мы могли бы решить систему уравнений, чтобы найти x, y и z.