Question

Дана функция f(x) = (x - 1) ^ 4 * (x + 1) ^ 3 * x ^ 2 . Найдите все значениях, при которых: a) f(x) < 0 b) f(x) <= 0 c) f(x) > 0 d) f(x) >= 0

Answer 1

Для нахождения значений x, при которых функция f(x) принимает определенные знаки (меньше нуля, меньше или равно нулю, больше нуля, больше или равно нулю), мы должны рассмотреть интервалы, на которых f(x) меняет знак. Для этого мы найдем корни уравнения f(x) = 0 и используем их для разбиения числовой прямой на интервалы.

Сначала найдем корни уравнения f(x) = 0:

f(x) = (x - 1)^4 * (x + 1)^3 * x^2 = 0

Один из корней равен 0, так как x^2 = 0 при x = 0.

Теперь рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. (x - 1)^4 = 0 имеет корень x = 1.
2. (x + 1)^3 = 0 имеет корень x = -1.

Таким образом, у нас есть три корня уравнения f(x) = 0: x = -1, x = 0 и x = 1. Эти корни разбивают числовую прямую на четыре интервала:

1. x < -1
2. -1 < x < 0
3. 0 < x < 1
4. x > 1

Теперь определим знак функции f(x) на каждом из этих интервалов:

a) Для f(x) < 0, функция должна быть отрицательной на интервалах между корнями:

1. f(x) < 0 при x < -1 (вне интервала корней)
2. f(x) < 0 при -1 < x < 0 (внутри интервала корней)

b) Для f(x) <= 0, функция должна быть неотрицательной или равной нулю:

3. f(x) <= 0 при 0 < x < 1 (внутри интервала корней)

c) Для f(x) > 0, функция должна быть положительной на интервалах вне корней:

1. f(x) > 0 при x < -1 (вне интервала корней)
2. f(x) > 0 при x > 1 (вне интервала корней)

d) Для f(x) >= 0, функция должна быть неотрицательной или равной нулю:

2. f(x) >= 0 при -1 < x < 0 (внутри интервала корней)
3. f(x) >= 0 при 0 < x < 1 (внутри интервала корней)

Итак, ответы на задачу:

a) Значения x, при которых f(x) < 0, это интервалы (-∞, -1) и (-1, 0).

b) Значения x, при которых f(x) <= 0, это интервал (0, 1) и корни -1 и 0.

c) Значения x, при которых f(x) > 0, это интервалы (-∞, -1) и (1, +∞).

d) Значения x, при которых f(x) >= 0, это интервалы (-1, 0), (0, 1) и корни -1 и 0.