Question

(х²-1)(х²+1)(х⁴+1)=х⁸+4хрозв'язати рівняння

Answer 1

$(x^2-1)(x^2+1)(x^4+1)= x^8+4x\\(x^4-1)(x^4+1)=x^8+4x\\x^8-1=x^8+4x\\-1=4x\\x = -0.25$

Answer 2

Щоб розв'язати це рівняння (x²-1)(x²+1)(x⁴+1) = x⁸ + 4x, спростимо спершу ліву та праву частини рівняння:

Ліва частина: (x²-1)(x²+1)(x⁴+1)

Ми можемо скористатися різницею квадратів для першого та другого добутку:

(x²-1) = (x-1)(x+1)

Тепер ми можемо розглядати ліву частину таким чином:

(x-1)(x+1)(x⁴+1)

Розглянемо тепер праву частину:

x⁸ + 4x

Отже, наше спростите рівняння виглядає так:

(x-1)(x+1)(x⁴+1) = x⁸ + 4x

Тепер ми можемо розглядати це як рівняння у більш зручному для розв'язання вигляді:

[(x-1)(x+1)][(x⁴+1)(x²+1)] = x(x⁷ + 4)

Розділімо обидві сторони рівняння на x:

(x-1)(x+1)(x⁴+1)(x²+1) = x⁷ + 4

Тепер ми можемо розглядати це як добуток двох багаточленів:

(x-1)(x+1)(x⁴+1)(x²+1) = x(x⁷ + 4)

Для розв'язання цього рівняння ми можемо застосувати теорему про розділення багаточленів. Розглянемо обидві сторони окремо:

1. (x-1)(x+1)(x⁴+1)(x²+1) = 0
2. x(x⁷ + 4) = 0

Спершу розв'яжемо перше рівняння:

(x-1)(x+1)(x⁴+1)(x²+1) = 0

Це рівняння має чотири корені:

1. x = 1
2. x = -1
3. x = i (де i - це уявна одиниця)
4. x = -i

Тепер розв'яжемо друге рівняння:

x(x⁷ + 4) = 0

З цього рівняння ми бачимо, що x = 0 є одним з коренів.

Отже, всього у нас є п'ять коренів:

1. x = 0
2. x = 1
3. x = -1
4. x = i
5. x = -i