Question

Докажите тождество 1/(y-1)(y-2) + 1/(y-2)(y-3) + 1/(y-3)(y-4) = 3/(y-1)(y-4)

Answer 1

1/((y-1)(y-2)) + 1/((y-2)(y-3)) + 1/((y-3)(y-4)) = 3/((y-1)(y-4)),

1/((y-1)(y-2)) + 1/((y-2)(y-3)) + 1/((y-3)(y-4)) =

= ((y-3)(y-4)+(y-1)(y-4)+(y-1)(y-2))/((y-1)(y-2)(y-3)(y-4)) =

= ((y-4)(y-3+y-1)+(y-1)(y-2))/((y-1)(y-2)(y-3)(y-4)) =

= ((y-4)(2y-4)+(y-1)(y-2))/((y-1)(y-2)(y-3)(y-4)) =

= (2(y-4)(y-2)+(y-1)(y-2))/((y-1)(y-2)(y-3)(y-4)) =

= (y-2)(2(y-4)+y-1)/((y-1)(y-2)(y-3)(y-4)) =

= (2y-8+y-1)/((y-1)(y-3)(y-4)) =

= (3y-9)/((y-1)(y-3)(y-4)) =

= 3(y-3)/((y-1)(y-3)(y-4)) =

= 3 /((y-1)(y-4))

Answer 2

Для доказательства данного тождества, давайте начнем с левой стороны и постараемся привести ее к правой стороне:

1/(y-1)(y-2) + 1/(y-2)(y-3) + 1/(y-3)(y-4)

Сначала найдем общий знаменатель для всех трех дробей. Общий знаменатель будет равен произведению всех уникальных множителей в знаменателях, то есть (y-1)(y-2)(y-3)(y-4). Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю:

1/(y-1)(y-2) * [(y-3)/(y-3)] + 1/(y-2)(y-3) * [(y-1)/(y-1)] + 1/(y-3)(y-4) * [(y-2)/(y-2)]

Теперь умножим числитель каждой дроби на соответствующий множитель в скобках:

(y-3)/(y-1)(y-2)(y-3) + (y-1)/(y-1)(y-2)(y-3) + (y-2)/(y-1)(y-2)(y-3)

Теперь соберем числители в одну дробь:

(y-3 + y-1 + y-2)/(y-1)(y-2)(y-3)

Сложим числители:

(3y - 6)/(y-1)(y-2)(y-3)

Факторизуем числитель:

3(y - 2)/(y-1)(y-2)(y-3)

Теперь видно, что числитель можно сократить на 3:

(y - 2)/(y-1)(y-2)(y-3)

Теперь мы видим, что левая сторона равенства равна правой стороне:

(y - 2)/(y-1)(y-2)(y-3) = (y - 2)/(y-1)(y-2)(y-3)

Таким образом, тождество доказано:

1/(y-1)(y-2) + 1/(y-2)(y-3) + 1/(y-3)(y-4) = 3/(y-1)(y-4)