Question

Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии равна 24, а произведение второго и третьего членов этой прогрессии равно 60. Найти первый член  и разность прогрессии

Answer 1

a1+a5=24

a2*a3=60

2a1+4d=24=>a1=12-2d

(a1+d)(a1+2d)=60

144-12d=60

d=7

a1=-2

Answer 2

Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как "a" и разность прогрессии как "d". Тогда второй член будет равен "a + d", третий член "a + 2d", и пятый член "a + 4d".

У нас есть два условия:

1. Сумма первого и пятого членов равна 24: a + (a + 4d) = 24.

2. Произведение второго и третьего членов равно 60: (a + d)(a + 2d) = 60.

Давайте решим эту систему уравнений.

Сначала решим первое уравнение: 2a + 4d = 24.

Теперь упростим его, разделив обе стороны на 2: a + 2d = 12. (1)

Теперь решим второе уравнение: (a + d)(a + 2d) = 60.

Раскроем скобки: a^2 + 2ad + ad + 2d^2 = 60.

Упростим: a^2 + 3ad + 2d^2 = 60. (2)

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2):

a + 2d = 12, a^2 + 3ad + 2d^2 = 60.

Давайте решим ее методом подстановки. Из первого уравнения выразим "a" через "d":

a = 12 - 2d.

Теперь подставим это значение "a" во второе уравнение:

(12 - 2d)^2 + 3(12 - 2d)d + 2d^2 = 60.

Раскроем скобки и упростим:

144 - 48d + 4d^2 + 36d - 6d^2 + 2d^2 = 60.

Теперь сгруппируем члены:

144 - 12d - 4d^2 = 60.

Переносим все на одну сторону:

-4d^2 - 12d + 144 - 60 = 0.

Упростим:

-4d^2 - 12d + 84 = 0.

Разделим все коэффициенты на -4 (чтобы упростить уравнение):

d^2 + 3d - 21 = 0.

Теперь найдем решения этого квадратного уравнения. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением:

d = (-B ± √(B² - 4AC)) / (2A).

В нашем случае A = 1, B = 3, и C = -21.

d = (-3 ± √(3² - 4(1)(-21))) / (2(1))

d = (-3 ± √(9 + 84)) / 2

d = (-3 ± √93) / 2.

Теперь у нас есть два возможных значения для разности прогрессии:

1. d₁ = (-3 + √93) / 2.
2. d₂ = (-3 - √93) / 2.

Теперь мы можем найти соответствующие значения для первого члена, используя уравнение (1):

1. Для d₁: a₁ = 12 - 2d₁ = 12 - 2((-3 + √93) / 2).

2. Для d₂: a₂ = 12 - 2d₂ = 12 - 2((-3 - √93) / 2).

Таким образом, у нас есть два возможных набора значений:

1. Для d₁: d₁ ≈ 6.303, a₁ ≈ -0.151.

2. Для d₂: d₂ ≈ -9.303, a₂ ≈ 21.151.

Итак, первый член арифметической прогрессии может быть примерно равен -0.151 (для d ≈ 6.303) или 21.151 (для d ≈ -9.303), в зависимости от выбора разности прогрессии.