Question

Решать плиииз...а то завтра уже сдавать надо...   1)  5 sin^2x-9sinx+4=0  2) 2cos ^2 x = 3 sin x 3) sin^2 x + sin x = 0 4) cos ^2 + 4 sin x * cos x - 5 sin^2 x=0 5) sin x * cos x - sin^2 x - cos x +sin x=0                

Answer 1

1) 5 sin^2x-9sinx+4=(sinx-1) * (5sin x-4) - преобразование левой части

нет действительных корней

3) sin^2 x + sin x = 0

    sin^2 x+sin x =sinx*(sinx+1)

остальные не получаются

 

Answer 2

Давайте решим каждое из уравнений по очереди:

1. 5sin^2x - 9sinx + 4 = 0

Для упрощения, давайте введем замену: t = sin(x). Тогда уравнение станет квадратным:

5t^2 - 9t + 4 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию:

(5t - 4)(t - 1) = 0

Из этого уравнения получаем два возможных значения t:

1. 5t - 4 = 0 => 5t = 4 => t = 4/5
2. t - 1 = 0 => t = 1

Теперь вернемся к исходному синусу:

1. sin(x) = 4/5
2. sin(x) = 1

Теперь найдем углы, соответствующие этим значениям синуса. Используем обратную тригонометрическую функцию синуса:

1. x = arcsin(4/5)
2. x = π/2

Теперь у нас есть два значения x: x1 = arcsin(4/5) и x2 = π/2.

2. 2cos^2x = 3sinx

Разделим обе стороны на sin(x) (помните, что sin(x) не может быть равен нулю, так как это деление на ноль):

2cos^2x / sinx = 3

Теперь используем тригонометрическую идентичность cos^2x = 1 - sin^2x:

2(1 - sin^2x) / sinx = 3

Раскроем скобки:

2/sinx - 2sinx = 3

Переносим все члены на одну сторону:

2/sinx - 2sinx - 3 = 0

Теперь введем замену: t = sin(x):

2/t - 2t - 3 = 0

Умножим обе стороны на t:

2 - 2t^2 - 3t = 0

Теперь это квадратное уравнение:

2t^2 + 3t - 2 = 0

Факторизуем его:

(2t - 1)(t + 2) = 0

Из этого уравнения получаем два возможных значения t:

1. 2t - 1 = 0 => 2t = 1 => t = 1/2
2. t + 2 = 0 => t = -2

Теперь вернемся к исходному синусу:

1. sin(x) = 1/2
2. sin(x) = -2

Теперь найдем углы, соответствующие этим значениям синуса:

1. x1 = arcsin(1/2)

2. sin(x) = -2 (нет решений, так как синус не может быть больше 1 по модулю)

3. sin^2x + sinx = 0

Давайте вынесем sinx за скобку:

sinx(sinx + 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя:

1. sinx = 0
2. sinx + 1 = 0

Для первого уравнения решение очевидно:

1. sin(x) = 0

Для второго уравнения:

2. sinx + 1 = 0 sinx = -1

Теперь найдем углы, соответствующие этим значениям синуса:

1. x1 = 0

2. x2 = π

3. cos^2x + 4sinx*cosx - 5sin^2x = 0

Давайте введем замену: t = sin(x). Тогда уравнение примет следующий вид:

cos^2x + 4sinxcosx - 5sin^2x = 0 cos^2x + 4sinxcosx - 5t^2 = 0

Теперь используем тригонометрическую идентичность cos^2x = 1 - sin^2x:

1 - t^2 + 4sinxcosx - 5t^2 = 0 1 - 5t^2 + 4sinxcosx = 0

Теперь мы можем использовать идентичность sin(2x) = 2sinx*cosx:

1 - 5t^2 + 2sin(2x) = 0

Теперь у нас есть уравнение только относительно t и sin(2x):

5t^2 - 2sin(2x) + 1 = 0

Теперь решим это уравнение относительно t.

5t^2 - 2sin(2x) + 1 = 0

Уравнение не имеет простых рациональных корней для t, поэтому давайте решим его численно или используем тригонометрические тождества, чтобы упростить его.

5. sinx*cosx - sin^2x - cosx + sinx = 0

Давайте вынесем sinx за скобку:

sinx(cosx - sinx - cos + 1) = 0

Теперь у нас есть два множителя:

1. sinx = 0
2. cosx - sinx - cos + 1 = 0

Для первого уравнения решение очевидно:

1. x1 = 0

Для второго уравнения:

2. cosx - sinx - cos + 1 = 0

Давайте попробуем выразить cosx через sinx с использованием тригонометрической идентичности sin^2x + cos^2x = 1:

cos^2x = 1 - sin^2x

Теперь подставим это в уравнение:

(1 - sin^2x) - sinx - cos + 1 = 0

Упростим:

1 - sin^2x - sinx - cos + 1 = 0

Теперь выразим cos через sin:

1 - sin^2x - sinx - (1 - sin^2x) + 1 = 0

Упростим еще раз:

-2sin^2x - sinx + 1 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sinx. Давайте введем замену:

t = sinx

-2t^2 - t + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию:

-2t^2 - t + 1 = 0

Так как это уравнение не факторизуется легко, воспользуемся квадратным уравнением:

t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

где a = -2, b = -1, c = 1. Подставим значения:

t = (1 ± √((-1)² - 4(-2)(1))) / (2(-2)) t = (1 ± √(1 + 8)) / (-4) t = (1 ± √9) / (-4)

Теперь найдем два значения t:

1. t1 = (1 + 3) / (-4) = -1/4
2. t2 = (1 - 3) / (-4) = -1

Теперь вернемся к исходному синусу:

1. sin(x) = -1/4
2. sin(x) = -1

Теперь найдем углы, соответствующие этим значениям синуса:

1. x1 = arcsin(-1/4)
2. x2 = -π/2

Теперь у нас есть решения для всех пяти уравнений:

1. x1 = arcsin(4/5), x2 = π/2
2. x1 = arcsin(1/2)
3. x1 = 0, x2 = π
4. Решение численно или с использованием тригонометрических идентичностей
5. x1 = arcsin(-1/4), x2 = -π/2