Question

Найдите сумму n первых членов геометрической прогрессии, если b2=5, q=1/5, n=5  

Answer 1

Знаменатель геометрической прогрессии:

$\rm q=\dfrac{b_2}{b_1}$  откуда  $\rm b_1=\dfrac{b_2}{q}=\dfrac{5}{\dfrac{1}{5}}=25$

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по следующей формуле:

     $\rm S=\dfrac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Тогда сумма первых пяти членов этой прогрессии:

$\rm S_5=\dfrac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\dfrac{25\cdot\left[1-\bigg(\dfrac{1}{5}\bigg)^5\right]}{1-\dfrac{1}{5}}=\dfrac{25\cdot \left(5^5-1\right)}{5^4\cdot(5-1)}=\dfrac{781}{25}=31.24$

Ответ: 31,24.

Answer 2

Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии, мы можем использовать следующую формулу:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1},$

где:

• $S_n$ - сумма первых n членов прогрессии,
• $b_1$ - первый член прогрессии,
• $q$ - знаменатель прогрессии (отношение между последовательными членами),
• $n$ - количество членов, для которых мы хотим найти сумму.

В данном случае у нас следующие данные:

• $b_1 = b_2 = 5$,
• $q = \frac{1}{5}$,
• $n = 5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$S_5 = \frac{5 \left(\frac{1}{5}^5 - 1\right)}{\frac{1}{5} - 1}.$

Теперь вычислим это:

$S_5 = \frac{5 \left(\frac{1}{3125} - 1\right)}{\frac{1}{5} - 1}.$

Сначала вычислим $\frac{1}{3125}$:

$\frac{1}{3125} = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{5^4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{625} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{125}.$

Теперь подставим это значение и продолжим вычисления:

$S_5 = \frac{5 \left(\frac{1}{125} - 1\right)}{\frac{1}{5} - 1}.$

Теперь вычислим $\frac{1}{125} - 1$:

$\frac{1}{125} - 1 = \frac{1}{125} - \frac{125}{125} = \frac{1 - 125}{125} = \frac{-124}{125}.$

И продолжим вычисления:

$S_5 = \frac{5 \cdot \left(\frac{-124}{125}\right)}{\frac{1}{5} - 1}.$

Далее вычислим $\frac{1}{5} - 1$:

$\frac{1}{5} - 1 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = \frac{1 - 5}{5} = \frac{-4}{5}.$

Теперь подставим это значение и продолжим вычисления:

$S_5 = \frac{5 \cdot \left(\frac{-124}{125}\right)}{\frac{-4}{5}}.$