Question

Докажите справедливость равенства: а) (sin a + sin3a) / (cos a + cos 3a)= tg2a; 

Answer 1

(sina+sin3a)/(cosa+cos3a)=(2sin2acosa)/(2cos2acosa)=sin2a/cos2a=tg2a

Answer 2

Для доказательства данного равенства мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями. Для начала, рассмотрим формулу суммы синусов:

sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y).

Используя эту формулу, мы можем выразить sin(3a) через sin(a):

sin(3a) = sin(2a + a) = sin(2a)cos(a) + cos(2a)sin(a).

Затем рассмотрим формулу суммы косинусов:

cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y).

Используя эту формулу, мы можем выразить cos(3a) через cos(a):

cos(3a) = cos(2a + a) = cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a).

Теперь мы имеем все необходимые выражения для числителя и знаменателя:

числитель: sin(a) + sin(3a) = sin(a) + (sin(2a)cos(a) + cos(2a)sin(a)) = sin(a) + sin(2a)cos(a) + cos(2a)sin(a),

знаменатель: cos(a) + cos(3a) = cos(a) + (cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a)) = cos(a) + cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a).

Теперь давайте разделим числитель на знаменатель:

(sin(a) + sin(2a)cos(a) + cos(2a)sin(a)) / (cos(a) + cos(2a)cos(a) - sin(2a)sin(a)).

Теперь сократим sin(a) в числителе и знаменателе:

(sin(a)(1 + 2cos(a))) / (cos(a)(1 + 2cos(a))) = sin(a)/cos(a) = tg(a).

Таким образом, мы доказали, что:

(sin(a) + sin(3a)) / (cos(a) + cos(3a)) = tg(a).

А так как tg(a) = tg^2(a), то это равенство верно:

(sin(a) + sin(3a)) / (cos(a) + cos(3a)) = tg^2(a).