Question

Найти промежутки  монотонности и экстремумы функции f(x)= x/ x^2+1 (весь знаменатель под корнем)..

Answer 1

f(x)= x/(x^2+1)

f'(x)=(x'(x^2+1)-x(x^2+1)')/(x^2+1)^2=x^2+1-2x^2/(x^2+1)^2=0

1-x^2=0

x=+/-1

подставляем 0, значение производной больше 0, значит на промежутке от -1 до 1 возрастает, значит от (-беск,-1) и (1;беск) убывает

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности и экстремумы функции $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $f(x)$.
2. Найдите точки, где производная равна нулю или не существует. Эти точки могут быть кандидатами на экстремумы.
3. Исследуйте знак производной в интервалах между найденными точками. Это позволит определить промежутки монотонности.

Давайте начнем с первого шага:

1. Найдем производную $f(x)$:

$f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

Используем правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x^2 + 1) \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{2}(2x)}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

Упростим выражение:

$f'(x) = \frac{x^2 + 1 - x^2}{(x^2 + 1)^{3/2}} = \frac{1}{(x^2 + 1)^{3/2}}$

2. Теперь найдем точки, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная $f'(x)$ существует для всех значений $x$, поэтому у нас нет критических точек.

3. Исследуем знак производной в разных интервалах. Воспользуемся знаком числителя и знаменателя:

$(x^2 + 1)^{3/2}$ всегда положительно, так как квадрат и добавление 1 дают положительные значения.

Итак, $f'(x) > 0$ для всех $x$, кроме $x = 0$ (так как в этой точке $f'(x) = 0$). Это означает, что функция возрастает на всей области определения.

Теперь перейдем к анализу экстремумов. Поскольку у нас нет точек, где производная равна нулю (кроме $x = 0$, но в этой точке производная не существует), то у функции нет локальных экстремумов.

Итак, исследуя функцию $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$, мы видим, что она монотонно возрастает на всей числовой прямой, и не имеет локальных экстремумов.