Question

Определить вид и расположение кривой второго порядка x2 + y2 + 2x − 4y −11= 0. Составить уравнение прямой, проходящей через ее центр перпендикулярно прямой            x + 2y −6 = 0. Сделать чертеж. помогите пожалуйста. заранее спасибо!

Answer 1

$x^{2} + y^{2} +2x-4y-11=(x+1)^2+(y-2)^2-1-4-11=(x+1)^2+(y-2)^2-16=0$
$(x+1)^2+(y-2)^2=4^2$ - уравнение окружности с центром в точке (-1;2) и радиусом 4;
x+2y-6=0; 2y=6-x; $y=- \frac{1}{2} x+3$
т.к. прямые перпендикулярны, то будем искать уранение прямой в виде: y=2x+b,
т.е. k=2;  $2*(- \frac{1}{2} )=-1$
подставим (-1;2) в данное уравнение и найдем b
2=-2+b;b=4
искомое уравнение: y=2x+4

Answer 2

Давайте начнем с определения вида и расположения кривой второго порядка, заданной уравнением:

x^2 + y^2 + 2x - 4y - 11 = 0

Для этого уравнения давайте приведем его к каноническому виду кривой второго порядка. Сначала выразим полные квадраты для x и y:

x^2 + 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 - 11 = 0

Теперь сгруппируем полные квадраты и константы:

(x^2 + 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) - 11 = 0

Теперь дополним к полным квадратам необходимые константы:

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 11 + 1 + 4 = 0

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 6 = 0

Теперь у нас есть уравнение в каноническом виде:

(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 6

Из этого уравнения видно, что это уравнение окружности с центром в точке (-1, 2) и радиусом √6.

Теперь давайте найдем уравнение прямой, проходящей через центр этой окружности и перпендикулярной прямой x + 2y - 6 = 0.

Прямая x + 2y - 6 = 0 имеет наклонный коэффициент -1/2, поэтому прямая, перпендикулярная ей, имеет наклонный коэффициент 2.

Также, мы знаем, что центр окружности (-1, 2) лежит на этой перпендикулярной прямой. Используя точку и наклонный коэффициент, мы можем составить уравнение этой прямой в виде:

y - 2 = 2(x + 1)

Раскроем скобки:

y - 2 = 2x + 2

Теперь добавим 2 к обеим сторонам:

y = 2x + 4

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через центр окружности (-1, 2) и перпендикулярной прямой x + 2y - 6 = 0, имеет вид:

y = 2x + 4

Чтобы сделать чертеж, вы можете нарисовать окружность с центром (-1, 2) и радиусом √6, а также прямую y = 2x + 4, которая перпендикулярна прямой x + 2y - 6 = 0 и проходит через центр окружности.