Question

Касательные, проведенные через точки Р и М графика функции f(x)= x-2/x-1 параллельны биссектрисам 1 и 3 координатных углов. Найти координаты точек Р и М.

Answer 1

Y1 = y(a1) + y'(a)*(x - a1) - касательная через точку Р
Y2 = y(a2) + y'(a2)*(x - a2) - касательная через точку М
P(a1;y1), M(a2;y2)
y = (x-2)/(x-1)
y' = (x-1 - (x-2))/(x-1)^2 = (x - 1 - x + 2)/(x-1)^2 = 1/(x-1)^2
y(a1) = (a1 - 2)/(a1 - 1)
y'(a1) = 1/(a1 - 1)^2
y(a2) = (a2 - 2)/(a2 - 1)
y'(a2) = 1/(a2 - 1)^2
Y1 || y=x, коэффициенты при х равны, x>0
Y2 || y=x,  коэффициенты при х равны, x<0
Y1 = (a1 - 2)/(a1 - 1) + (x - a1)/(a1 - 1)^2
Y2 = (a2 - 2)/(a2 - 1) + (x - a2)/(a2 - 1)^2
1/(a1 - 1)^2 = 1, a1 - 1 = +-1, a1=2, a1=0
1/(a2 - 1)^2 = 1, a2 = 0, a2=2
a1 = 2, Y1=0 + (x-2) = x - 2
a2 = 0, Y2 = 2 + x = x + 2
y1(2) = 0, P(2;0)
y2(0) = 2, M(0;2)

Answer 2

Для того чтобы касательные к графику функции $f(x) = \frac{x - 2}{x - 1}$ были параллельны биссектрисам 1 и 3 координатных углов, нужно, чтобы угловой коэффициент этих касательных был равен $1$ (для биссектрисы 1 координатного угла) и $-1$ (для биссектрисы 3 координатного угла).

Давайте найдем угловой коэффициент касательной к функции $f(x)$:

$f(x) = \frac{x - 2}{x - 1}$

Чтобы найти угловой коэффициент, давайте сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x - 2}{x - 1}\right)$

Применяем правило дифференцирования дроби:

$f'(x) = \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x - 2) \cdot 1}{(x - 1)^2}$

Упрощаем:

$f'(x) = \frac{x - 1 - x + 2}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{1}{(x - 1)^2}$

Теперь у нас есть производная функции $f(x)$, и мы видим, что угловой коэффициент касательной к функции $f(x)$ равен $1$ (при $x = 1$) и $-1$ (при $x = 3$). Таким образом, касательные параллельны биссектрисам 1 и 3 координатных углов.

Чтобы найти точки $P$ и $M$, мы можем использовать эти значения $x$ и подставить их обратно в исходную функцию $f(x)$:

1. Для биссектрисы 1 координатного угла ($x = 1$):

$f(1) = \frac{1 - 2}{1 - 1} = \frac{-1}{0}$

Здесь у нас происходит деление на ноль, что означает, что касательная горизонтальна в точке $P$ и не существует в данной точке.

2. Для биссектрисы 3 координатного угла ($x = 3$):

$f(3) = \frac{3 - 2}{3 - 1} = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть точка $M(3, 1/2)$.

Итак, точка $M$ имеет координаты $M(3, 1/2)$, а точка $P$ не существует на графике функции $f(x)$, так как касательная горизонтальна в этой точке.