Question

Найти максимумы функции f(x)=3x^4-4x^3-12x^2+19

Answer 1

Находим производную, она равна
12x^3-12x^2-24x=12(x^3-x^2-2x)=0  и решаем вот это уравнение

Answer 2

Для нахождения максимумов функции f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 19 нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x).

f'(x) = d/dx [3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 19]

Используя правила дифференцирования степеней x, мы получим:

f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x

2. Решите уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки.

12x^3 - 12x^2 - 24x = 0

3. Решите уравнение для x:

12x(x^2 - x - 2) = 0

Это уравнение имеет три корня:

a) x = 0 b) x = 2 c) x = -1

4. Теперь найдите вторую производную f''(x):

f''(x) = d^2/dx^2 [3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 19]

Используя правила дифференцирования, мы получим:

f''(x) = 36x^2 - 24x - 24

5. Оцените значение f''(x) в найденных критических точках:

a) f''(0) = 36(0)^2 - 24(0) - 24 = -24 b) f''(2) = 36(2)^2 - 24(2) - 24 = 72 - 48 - 24 = 0 c) f''(-1) = 36(-1)^2 - 24(-1) - 24 = 36 + 24 - 24 = 36

Теперь мы можем сделать выводы:

• Точка x = 0 является точкой максимума, так как f''(0) < 0.
• Точка x = 2 является точкой перегиба, так как f''(2) = 0.
• Точка x = -1 является точкой минимума, так как f''(-1) > 0.

Теперь найдем значения функции f(x) в этих точках:

f(0) = 3(0)^4 - 4(0)^3 - 12(0)^2 + 19 = 19 f(2) = 3(2)^4 - 4(2)^3 - 12(2)^2 + 19 = 3(16) - 4(8) - 12(4) + 19 = 48 - 32 - 48 + 19 = -13 f(-1) = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 + 19 = 3(1) + 4 - 12 + 19 = 3 + 4 - 12 + 19 = 14

Итак, максимум функции f(x) равен 19 и достигается при x = 0. Минимум равен 14 и достигается при x = -1.