Question

Решить уравнение sin^4x-cos^4x=3

Answer 1

Сделаем искусственное преобразование, умножим и разделим правую часть на √2
√2· ( 1/√2· sin 4x - 1/√2·сos4x)=3,
Заменим 1/√2 на соs π/4 и на sin π/4,
получим
√2· (сos π/4 ·sin 4x  -  sin π|4  ·cos 4x)=3
Разность в скобках заменим по формуле синус разности двух аргументов:
√2· sin (4x  -  π/4) = 3, разделим на √2
  sin (4x  -  π/4) = 3/√2,
Так как 3/√2=√(9/2)>1, то уравнение не имеет решений

Answer 2

Давайте решим уравнение sin^4(x) - cos^4(x) = 3. Для этого мы можем использовать тождество разности для четвертых степеней синуса и косинуса:

sin^4(x) - cos^4(x) = (sin^2(x) + cos^2(x))(sin^2(x) - cos^2(x))

Так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1 (тождество Пифагора), у нас остается:

(sin^2(x) - cos^2(x)) = 3

Теперь мы можем использовать тождество для разности квадратов:

sin^2(x) - cos^2(x) = (sin(x) + cos(x))(sin(x) - cos(x))

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. sin(x) + cos(x) = 3
2. sin(x) - cos(x) = -1

Давайте решим их по очереди.

Первое уравнение (sin(x) + cos(x) = 3):

Мы можем возвести оба уравнения в квадрат:

(sin(x) + cos(x))^2 = 3^2 sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 9

Теперь мы можем использовать тождество Пифагора sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 + 2sin(x)cos(x) = 9

2sin(x)cos(x) = 9 - 1 2sin(x)cos(x) = 8

sin(2x) = 8

Теперь мы можем использовать обратную функцию синуса:

2x = arcsin(8)

x = (1/2)arcsin(8)

Заметьте, что arcsin(8) не имеет решения в действительных числах, так как значение синуса всегда ограничено диапазоном [-1, 1]. Таким образом, первое уравнение не имеет действительных решений.

Теперь рассмотрим второе уравнение (sin(x) - cos(x) = -1):

(sin(x) - cos(x)) = -1

Сложим это уравнение с уравнением sin(x) + cos(x) = 3:

(sin(x) + cos(x)) + (sin(x) - cos(x)) = 3 - 1

2sin(x) = 2

sin(x) = 1

Теперь мы можем найти значение x, используя обратную функцию синуса:

x = arcsin(1)

x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

Итак, уравнение sin^4(x) - cos^4(x) = 3 имеет решение x = π/2 + 2πn, где n - целое число.