Question

Доказать тождество 3cos 2α-sin^2α-cos^2α=2cos 2α

Answer 1

$3cos2 \alpha -sin^2 \alpha -cos^2 \alpha =2cos2 \alpha ,\\\\3(cos^2 \alpha -sin^2 \alpha )-sin^2 \alpha -cos^2 \alpha=3cos^2 \alpha -3sin^2 \alpha -sin^2 \alpha -cos^2 \alpha\\=2cos^2\alpha-2sin^2a=2(cos^2 \alpha-sin^2\alpha)=2cos2 \alpha.\\\\2cos2\alpha=2cos2\alpha.$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, начнем с левой стороны и постепенно упрощаем ее:

3cos(2α) - sin^2α - cos^2α

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы упростить выражение:

1. sin^2α + cos^2α = 1 (тождество Пифагора)
2. cos(2α) = cos^2α - sin^2α (тригонометрическая формула двойного угла)

Теперь подставим эти тождества в исходное выражение:

3cos(2α) - sin^2α - cos^2α 3(cos^2α - sin^2α) - sin^2α - cos^2α 3(cos^2α - sin^2α) - (sin^2α + cos^2α)

Теперь используем тождество Пифагора и формулу двойного угла:

3(cos^2α - sin^2α) - 1

Распределите 3 по обоим слагаемым:

3cos^2α - 3sin^2α - 1

Используем формулу двойного угла для синуса: sin(2α) = 2sinαcosα

3(1 - sin^2α) - 1

Теперь раскроем скобки и упростим:

3 - 3sin^2α - 1

3 - 3sin^2α - 1 = 2 - 3sin^2α

Таким образом, левая сторона тождества равна 2 - 3sin^2α. Теперь сравним это с правой стороной тождества:

2cos(2α)

Используем формулу двойного угла для косинуса: cos(2α) = cos^2α - sin^2α

2(cos^2α - sin^2α)

Теперь сравним полученное выражение с левой стороной:

2(cos^2α - sin^2α)

Обратите внимание, что это выражение совпадает с левой стороной тождества:

2 - 3sin^2α

Следовательно, мы доказали, что:

3cos(2α) - sin^2α - cos^2α = 2cos(2α)