Question

Найдите 1 производную пожалуйста cos[5x]cos[3x]+sin[5x]sin[3x]

Answer 1

$\cos 5x\cos 3x+\sin 5x\sin 3x=\cos (5x-3x)=\cos 2x$

Производная:  $f'(x)=(\cos2x)'\cdot (2x)'=-2\sin 2x$

Answer 2

Для нахождения производной выражения cos(5x)cos(3x) + sin(5x)sin(3x), можно воспользоваться формулой для производной суммы функций:

d/dx [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)

где f(x) = cos(5x)cos(3x) и g(x) = sin(5x)sin(3x).

Теперь найдем производные f(x) и g(x):

1. Для f(x), используем производную произведения двух функций:

f(x) = cos(5x)cos(3x)

f'(x) = [cos(5x)]'cos(3x) + cos(5x)[cos(3x)]'

Чтобы найти производные от cos(5x) и cos(3x), мы используем цепное правило (chain rule):

[cos(u)]' = -sin(u) * u'

Где u = 5x и u' = 5.

[cos(5x)]' = -sin(5x) * 5 = -5sin(5x)

Аналогично для cos(3x):

[cos(3x)]' = -sin(3x) * 3 = -3sin(3x)

Теперь подставим производные в формулу для f'(x):

f'(x) = -5sin(5x)cos(3x) - 3cos(5x)sin(3x)

2. Для g(x), также используем производную произведения:

g(x) = sin(5x)sin(3x)

g'(x) = [sin(5x)]'sin(3x) + sin(5x)[sin(3x)]'

Снова используем цепное правило для sin:

[sin(u)]' = cos(u) * u'

Где u = 5x и u' = 5.

[sin(5x)]' = cos(5x) * 5 = 5cos(5x)

Аналогично для sin(3x):

[sin(3x)]' = cos(3x) * 3 = 3cos(3x)

Теперь подставим производные в формулу для g'(x):

g'(x) = 5cos(5x)sin(3x) + 3sin(5x)cos(3x)

Теперь мы можем найти производную исходного выражения:

f'(x) + g'(x) = (-5sin(5x)cos(3x) - 3cos(5x)sin(3x)) + (5cos(5x)sin(3x) + 3sin(5x)cos(3x))

Теперь можно упростить это выражение:

(-5sin(5x)cos(3x) + 5cos(5x)sin(3x)) + (-3cos(5x)sin(3x) + 3sin(5x)cos(3x))

Обратите внимание, что первые два члена и вторые два члена в скобках сокращаются:

0 + 0 = 0

Таким образом, производная выражения cos(5x)cos(3x) + sin(5x)sin(3x) равна нулю:

d/dx [cos(5x)cos(3x) + sin(5x)sin(3x)] = 0