Question

найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение |х^2-a|+|x|+|x^2+a|=a^2-3 имеет единственный корень ОЧЕНЬ СРОЧНО!!!!!!!!

Answer 1

Допустим, что некое x=k является корнем. Тогда x=-k тоже является корнем, т.к. икс везде либо в квадрате, либо под отдельным модулем. Следовательно, если корень - единственный, то он равен 0. Чтобы узнать, при каких а 0 является корнем (не факт, что единственным), нужно подставить вместо x 0.
$|0-a|+|0|+|0+a|=a^2-3;\\ |a|^2-2|a|-3=0;\\ (|a|+1)(|a|-3)=0.$
Отсюда следует, что условие может выполняться только при |a|=3. Однако если подставить a=3 в уравнение и построить график левой части, то будет видно, что при х=0 значение минимально и равно правой части, а сам график похож на обрезанную параболу, то есть других корней нет.
Ответ: $\pm3$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение |x^2-a| + |x| + |x^2+a| = a^2 - 3 и постараемся найти значения параметра a, при которых у него есть единственный корень.

1. Рассмотрим случай, когда a > 0:

   Если a > 0, то |x^2-a| = x^2-a и |x^2+a| = x^2+a.

   Теперь наше уравнение имеет вид:

   x^2 - a + |x| + x^2 + a = a^2 - 3.

   Упростим его:

   2x^2 + |x| = a^2 - 3.

   Это уравнение имеет одно решение, если a^2 - 3 = 0, так как в этом случае правая часть становится равной нулю, и уравнение сводится к 2x^2 + |x| = 0. Решение этого уравнения - x = 0.

   Следовательно, при a = ±√3, уравнение |x^2-a| + |x| + |x^2+a| = a^2 - 3 имеет единственное решение x = 0.

2. Рассмотрим случай, когда a = 0:

   Если a = 0, то уравнение принимает вид:

   |x^2| + |x| + |x^2| = -3.

   Это уравнение не имеет решений, так как левая часть всегда неотрицательна, а правая часть отрицательна.

3. Рассмотрим случай, когда a < 0:

   Если a < 0, то |x^2-a| = -x^2 + |a| и |x^2+a| = -x^2 - |a|.

   Теперь наше уравнение имеет вид:

   -x^2 + |a| + |x| - x^2 - |a| = a^2 - 3.

   Упростим его:

   -2x^2 + |x| = a^2 - 3.

   Это уравнение также имеет одно решение, если a^2 - 3 = 0, так как в этом случае правая часть становится равной нулю, и уравнение сводится к -2x^2 + |x| = 0. Решение этого уравнения - x = 0.

   Следовательно, при a = ±√3, уравнение |x^2-a| + |x| + |x^2+a| = a^2 - 3 имеет единственное решение x = 0.

Итак, уравнение |x^2-a| + |x| + |x^2+a| = a^2 - 3 имеет единственное решение x = 0 при a = ±√3.