Question

Докажите что заданная функция возрастает у=15-2/х-1/х^3 на (-бесконечность;0)

Answer 1

Производная данной функции будет равна 2/x^2 +3/x^4   А это выражение положительно при всех значениях х кроме 0, значит функция возрастает и на множестве от минус бесконечности до 0.

Answer 2

Для доказательства, что данная функция y = 15 - 2/x - 1/x^3 возрастает на интервале (-∞, 0), мы должны показать, что производная этой функции положительна на данном интервале. Если производная положительна, это означает, что функция увеличивается при уменьшении x.

Давайте найдем производную функции y по x:

y = 15 - 2/x - 1/x^3

y' = d/dx (15 - 2/x - 1/x^3)

Для нахождения производной этой функции, мы будем использовать правила дифференцирования:

1. Производная постоянной равна нулю: d/dx(15) = 0.

2. Производная функции 2/x равна -2/x^2: d/dx(-2/x) = -2(-1/x^2) = 2/x^2.

3. Производная функции 1/x^3 равна -3/x^4: d/dx(-1/x^3) = -3(-1/x^4) = 3/x^4.

Теперь соберем все части производной вместе:

y' = 0 + 2/x^2 + 3/x^4 = 2/x^2 + 3/x^4.

Мы хотим узнать, когда эта производная положительна на интервале (-∞, 0). Для этого сначала определим знак производной на этом интервале.

На интервале (-∞, 0), x отрицателен. Рассмотрим части производной:

1. 2/x^2 - Знак этой части зависит от x^2. На отрицательных x^2, 2/x^2 будет положительным числом, так как отрицательное число во второй степени становится положительным. Таким образом, 2/x^2 положительно на (-∞, 0).

2. 3/x^4 - Знак этой части зависит от x^4. На отрицательных x^4, 3/x^4 также будет положительным числом, так как отрицательное число в четвертой степени становится положительным. Таким образом, 3/x^4 положительно на (-∞, 0).

Теперь объединим результаты для обеих частей производной:

2/x^2 + 3/x^4 > 0

Поскольку производная положительна на интервале (-∞, 0), это означает, что функция y = 15 - 2/x - 1/x^3 возрастает на данном интервале.