Question

Найти промежутки возрастание и убывание функции. Определить экстремумы и наибольшее, наименьшие значение функции на отрезки: (-4;2) y=x^2+7x-4

Answer 1

Находим производную:
y=x²+7x-4
y'=2x+7
находим критические точки:
2x+7=0
x=-3.5
 находим значение функции в критической точке и на концах отрезка:
y(-4)=(-4)²+7(-4)-4=16-28-4=-16
y(-3,5)=(-3,5)²+7(-3,5)-4=12,25-24,5-4=-16,25
y(2)=2²+7*2-4=4+14-4=14
Ответ: $y_{min}=-16.25, y_{max}=14$
промежуток убывания функции (-∞;-3,5), промежуток возрастания (-3,5;+∞)

Answer 2

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции, а также определения экстремумов, нужно найти производную функции и проанализировать её знаки на заданном интервале (-4;2).

Данная функция: y = x^2 + 7x - 4.

1. Найдем производную функции:

y' = 2x + 7.

2. Теперь определим знак производной на интервале (-4;2). Для этого подставим в производную разные значения x:

• Если x < -7/2 (то есть меньше -3.5), то 2x + 7 будет отрицательным.
• Если x > -7/2 (то есть больше -3.5), то 2x + 7 будет положительным.

Теперь мы знаем, что:

• На интервале (-4; -7/2) производная отрицательна, что значит, что функция убывает на этом интервале.
• На интервале (-7/2; 2) производная положительна, что значит, что функция возрастает на этом интервале.

Теперь найдем экстремумы. Экстремумы возникают там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная существует для всех значений x.

2x + 7 = 0 2x = -7 x = -7/2

Производная равна нулю при x = -7/2.

Это означает, что у функции есть экстремум на x = -7/2. Чтобы определить, является ли это минимумом или максимумом, нужно проанализировать изменение знака производной вокруг этой точки.

• Для x < -7/2 (то есть на интервале (-4; -7/2)), производная отрицательна, поэтому функция убывает.
• Для x > -7/2 (то есть на интервале (-7/2; 2)), производная положительна, поэтому функция возрастает.

Следовательно, при x = -7/2 у функции есть локальный минимум.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале (-4;2), найдем значения функции в концах этого интервала и в точке экстремума:

1. При x = -4: y(-4) = (-4)^2 + 7*(-4) - 4 = 16 - 28 - 4 = -16 - 4 = -20.

2. При x = 2: y(2) = 2^2 + 7*2 - 4 = 4 + 14 - 4 = 14.

3. При x = -7/2 (точка экстремума): y(-7/2) = (-7/2)^2 + 7*(-7/2) - 4 = 49/4 - 49/2 - 4 = (49 - 98 - 16)/4 = -65/4.

Таким образом, наибольшее значение функции на интервале (-4;2) равно 14 (в точке x = 2), а наименьшее значение равно -20 (в точке x = -4).