Question

Решите уравнение 81^0,5x - 0,75 = 7 * 3^ x-2 - 4 Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (1; 2,25]

Answer 1

$\displaystyle 81^{0.5x-0.75}=7*3^{x-2}-4\\\\(3^4)^{0.5x-0.75}=7*3^{x-2}-4\\\\3^{2x-3}=7*3^{x-2}-4\\\\3^{2x}*3^{-3}-7*3^x*3^{-2}+4=0 \\\\ \frac{3^{2x}}{27}-7* \frac{3^x}{9}+4=0\\\\ \frac{3^{2x}}{27}-21* \frac{3^x}{27}+ \frac{108}{27}=0\\\\(3^x)^2-21*3^x+108=0$
$\displaystyle 3^x=t\\\\t^2-21t+108=0\\\\D=441-432=9\\\\t_{1.2}= \frac{21\pm 3}{2}\\\\t_1= 12; t_2=9\\\\3^x=9; 3^x=3^2; x=2\\\\3^x=12;x=log_312$

Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (1; 2,25]

x=2 принадлежит данному промежутку. 
проверим второй корень 

$\displaystyle x=log_312\\\\1=log_33\\\\2.25=log_33^{2.25}=log_33^{9/4}=log_3 \sqrt[4]{3^9}=log_33 \sqrt[4]{3}$

легко видеть что
$\displaystyle 1\ \textless \ 3 \sqrt[4]{3}\ \textless \ 12$

второй корень не принадлежит промежутку

Answer 2

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

Уравнение: 81^(0.5x) - 0.75 = 7 * 3^(x - 2) - 4

Сначала преобразуем выражения с основанием 3:

81^(0.5x) = (3^4)^(0.5x) = 3^(4 * 0.5x) = 3^(2x)

7 * 3^(x - 2) = 7 * (3^x / 3^2) = (7/9) * 3^x

Теперь мы можем переписать уравнение следующим образом:

3^(2x) - 0.75 = (7/9) * 3^x - 4

Теперь мы можем преобразовать это уравнение, чтобы избавиться от основания 3:

3^(2x) - (7/9) * 3^x + 4 = 0.75

Умножим обе стороны уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби:

9 * (3^(2x)) - 7 * 3^x + 36 = 6.75

Теперь выразим 3^x как переменную t (так, чтобы уравнение стало квадратным):

Пусть t = 3^x. Тогда уравнение будет выглядеть следующим образом:

9 * (t^2) - 7t + 36 = 6.75

Умножим все члены уравнения на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

36t^2 - 28t + 144 = 27

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

36t^2 - 28t + 144 - 27 = 0

36t^2 - 28t + 117 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 * 36 * 117 = 784 - 16848 = -16064

Поскольку дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней этого уравнения.

Теперь, когда мы понимаем, что уравнение не имеет действительных корней, мы можем заключить, что в интервале (1; 2.25] уравнение не имеет корней.