Question

Вычислите ((-1+i sqrt3)/2)^4 комплексные числа

Answer 1

Решение смотри во вложении.......................

Answer 2

Чтобы вычислить четвертую степень комплексного числа $(-1 + i\sqrt{3})/2$, мы можем воспользоваться формулой De Moivre для возведения комплексного числа в степень. Формула De Moivre выглядит следующим образом:

$(r(\cos \theta + i \sin \theta))^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$

В данном случае $r = 1$, так как модуль числа $(-1 + i\sqrt{3})/2$ равен 1, и $\theta = \pi/3$, так как аргумент этого числа равен $\pi/3$.

Теперь мы можем вычислить четвертую степень:

\left(\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right)^4 &= 1^4 \left(\cos\left(4 \cdot \frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{3}\right)\right) \\ &= \cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) + i\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) \end{align*}\] Теперь найдем значения косинуса и синуса для аргумента \(\frac{4\pi}{3}\): \[\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2},\] \[\sin\left(\frac{4\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}.\] Таким образом, \(\left(\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}\right)^4 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i\).