Question

Log2(x^2+2)=cosпх решите пожалуйста

Answer 1

При любом значении х $cos \pi*x \leq 1$
по свойству принимаемых значений функции косинус

$x^2+2 \geq 0+2=2$
$log_2 (x^2+2) \geq log_2 2=1$
получается что левая часть больше или равно 1, а правая часть меньше или равно 1,
значит данное уравнение имеет решение тогда и только тогда
когда
$log_2 (x^2+2)=1$ (1)
$cos \pi*x =1$ (2)

----
$log_2 (x^2+2)=1$
$log_2 (x^2+2)=log_2 2$
$x^2+2=2$
$x^2=0$
$x=0$
(1) - имеет единственное решение х=0 , проверяем является ли оно решением второго уравнения
$cos \pi*0=cos 0=1$
Следовательно х=0 - единственное решение заданного уравнения
ответ: 0

Answer 2

Давайте решим уравнение $\log_2(x^2+2) = \cos(\pi x)$.

Прежде чем продолжить, заметим, что $\cos(\pi x)$ изменяется от -1 до 1. Следовательно, $x^2+2$ должно находиться в пределах от 1 до 2, так как $\log_2$ от положительного числа всегда положительно. Таким образом, у нас есть ограничение:

$1 \leq x^2 + 2 \leq 2$

Теперь начнем решать уравнение. Для начала перепишем его в экспоненциальной форме:

$2^{\cos(\pi x)} = x^2 + 2$

Теперь давайте рассмотрим разные значения $\cos(\pi x)$ и соответствующие им значения $x^2 + 2$:

1. Если $\cos(\pi x) = 1$, то у нас есть $2^1 = x^2 + 2$, что означает $x^2 = 0$. Это дает нам один корень $x = 0$.

2. Если $\cos(\pi x) = 0$, то у нас есть $2^0 = x^2 + 2$, что означает $x^2 = -1$. Однако, этот случай не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть отрицательным числом для действительных $x$.

3. Если $\cos(\pi x) = -1$, то у нас есть $2^{-1} = x^2 + 2$, что означает $x^2 = -3$. Опять же, этот случай не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть меньше -2 для действительных $x$.

Итак, у нас есть только один действительный корень: $x = 0$.