Question

Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями: у=х²+2х+4 и у=4-2х

Answer 1

$S= \int\limits^0_{-4} {(-4+4-2x-2x-x^2)dx} \, dx =(-2x^2- \frac{x^3}{3})|^0_{-4}= \frac{32}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми y = x² + 2x + 4 и y = 4 - 2x, мы должны найти точки их пересечения. Затем мы можем интегрировать разность этих функций между этими точками, чтобы найти площадь между ними.

Сначала найдем точки пересечения:

1. Приравняем уравнения x² + 2x + 4 и 4 - 2x: x² + 2x + 4 = 4 - 2x

2. Переносим все члены на одну сторону: x² + 2x + 2x + 4 - 4 = 0

3. Упростим: x² + 4x = 0

4. Факторизуем или используем квадратное уравнение: x(x + 4) = 0

Теперь находим значения x:

1. x = 0
2. x + 4 = 0 x = -4

Итак, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = -4.

Теперь мы можем интегрировать разность между этими двумя функциями по интервалу от x = -4 до x = 0, чтобы найти площадь между ними:

S = ∫[from -4 to 0] [(x² + 2x + 4) - (4 - 2x)] dx

Выполним интегрирование:

S = [x³/3 + x² + 4x] |[from -4 to 0] - [(4x - x²/2)] |[from -4 to 0]

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

S = [(0³/3 + 0² + 4 * 0) - ((4 * 0 - 0²/2)) - ((-4)³/3 + (-4)² + 4 * (-4)) - ((4 * (-4) - (-4)²/2))]

S = [0 - 0 - (-64/3 - 16 - 16 - 32)]

S = [-(64/3 + 16 + 16 + 32)]

S = -[(64/3 + 48 + 32)]

S = -[(64/3 + 80)]

S = -[(64 + 240) / 3]

S = -[304 / 3]

Итак, площадь фигуры, ограниченной этими двумя кривыми, равна -304/3 или приближенно -101.33 квадратных единицы площади. Обратите внимание, что площадь отрицательная, потому что одна из кривых находится выше другой в рассматриваемом интервале.