Question

Найдите точку макимума функции: x^3 + 48/x

Answer 1

Y = x³ + 48/x
Решение
Находим первую производную функции:
y' = 3x² - 48/x²
или
y' = (3x⁴ - 48)/x²
Приравниваем ее к нулю:
3x² - 48/x² = 0
x1 = -2
x₂ = 2
Вычисляем значения функции 
f(-2) = - 32
f(2) = 32
Ответ: fmin = -32, fmax = 32
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 6x + 96/x³
или
y'' = (6x⁴ + 96)/x³
Вычисляем:
y''(-2) = -24 < 0 - значит точка x = - 2 точка максимума функции.
y''(2) = 24 > 0 - значит точка x = 2 точка минимума функции.

Answer 2

Для нахождения точки максимума функции $f(x) = x^3 + \frac{48}{x}$, мы сначала найдем ее производную $f'(x)$ и затем приравняем $f'(x)$ к нулю, чтобы найти значения $x$, в которых производная равна нулю. Затем проверим вторую производную, чтобы убедиться, что это действительно точка максимума.

1. Найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = 3x^2 - \frac{48}{x^2}$

2. Теперь приравняем $f'(x)$ к нулю и решим уравнение: $3x^2 - \frac{48}{x^2} = 0$

Умножим обе стороны на $x^2$, чтобы избавиться от дробей: $3x^4 - 48 = 0$

3. Решим это уравнение для $x^4$: $3x^4 = 48$

Теперь делим обе стороны на 3: $x^4 = 16$

4. Извлекаем корень четвертой степени с обеих сторон: $x = \sqrt[4]{16} = 2$

5. Теперь, чтобы определить, является ли это точкой максимума, найдем вторую производную $f''(x)$: $f''(x) = 6x + \frac{96}{x^3}$

6. Подставим $x = 2$ в $f''(x)$: $f''(2) = 6(2) + \frac{96}{2^3} = 12 + 12 = 24$

Вторая производная положительна ($f''(2) > 0$), что означает, что при $x = 2$ у нас есть точка максимума функции $f(x) = x^3 + \frac{48}{x}$.

Итак, точка максимума функции $f(x)$ находится при $x = 2$, и ее значение равно: $f(2) = 2^3 + \frac{48}{2} = 8 + 24 = 32$

Таким образом, точка максимума функции $f(x)$ находится при $x = 2$, и ее значение равно 32.