Question

Ребята,помогите решить систему уравнений. 2x^2-3y^2=15 и x^4-y^4=80

Answer 1

{2x²-3y²=15
{x⁴-y⁴=80

Пусть    a=x²     a²=x⁴
              b=y²     b²=y⁴

{2a-3b=15
{a²-b²=80

2a-3b=15
2a=15+3b
(2a)² =(15+3b)²
4a² = (15+3b)²

a² -b² = 80
4a² - 4b²= 320
(15+3b)² - 4b² = 320
225+90b+9b²-4b²=320
5b² +90b -95 =0
b² +18b -19=0
D= 18² - 4*(-19)=324+76=400
b₁= -18-20 = -19
           2
b₂ = -18+20 = 1
             2

При b₁= -19
2a=15+3*(-19)
2a=15-57
2a=-42
a= -21

При b₂=1
2a=15+3*1
2a=18
a=9

При a=-21   и  b= -19
x²= -21   
y² = -19
нет решений.

При a=9  и   b=1
x²=9
y²=1

x₁= 3
x₂= -3

y₁= 1
y₂ = -1

Ответ: (3; 1)          (3; -1)
             (-3; 1)        (-3; -1)

Answer 2

Для решения этой системы уравнений мы можем использовать метод подстановки. Давайте начнем с выражения одной из переменных из одного уравнения и подстановки этого выражения в другое уравнение.

Из первого уравнения:

2x^2 - 3y^2 = 15

Мы можем выразить x^2 через y^2:

2x^2 = 15 + 3y^2 x^2 = (15 + 3y^2) / 2

Теперь подставим это выражение для x^2 во второе уравнение:

(x^4) - y^4 = 80

((15 + 3y^2) / 2)^2 - y^4 = 80

((15 + 3y^2)^2 / 4) - y^4 = 80

Теперь давайте упростим это уравнение:

((15 + 3y^2)^2 / 4) - y^4 = 80

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

(15 + 3y^2)^2 - 4y^4 = 320

Теперь раскроем квадрат слева:

225 + 90y^2 + 9y^4 - 4y^4 = 320

Упростим:

5y^4 + 90y^2 - 95 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно y^2. Давайте введем замену, чтобы упростить его. Пусть z = y^2:

5z^2 + 90z - 95 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение относительно z с помощью дискриминанта:

D = (90)^2 - 4 * 5 * (-95)

D = 8100 + 1900

D = 10000

Теперь мы можем найти два значения z:

z1 = (-90 + √10000) / (2 * 5) = (-90 + 100) / 10 = 1

z2 = (-90 - √10000) / (2 * 5) = (-90 - 100) / 10 = -19

Теперь найдем соответствующие значения y:

Для z1: y^2 = 1 y1 = 1 y2 = -1

Для z2: y^2 = -19

Здесь у нас возникает проблема. Уравнение y^2 = -19 не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа всегда неотрицательный. Таким образом, у нас есть два набора решений:

1. x1, y1: x^2 = (15 + 3 * 1) / 2 = 9, x1 = ±3, y1 = ±1
2. x2, y2: уравнение y^2 = -19 не имеет действительных корней, поэтому этот набор решений не существует.

Итак, у нас есть две пары решений:

1. (x1, y1) = (3, 1) и (-3, -1)
2. (x2, y2) - нет действительных корней для y

Это и есть ответы на систему уравнений.