Question

Довести, що 1) (а-8)(а+7)>(а+10)(а-11) 2) (а+6)(b+3)(c+2)>48√abc СРОЧНОО

Answer 1

Решение 
1) (а-8)(а+7) - (а+10)(а-11) = a² - a - 56 - a² + a + 110 =  54 > 0, значит 
(а-8)(а+7) > (а+10)(а-11) Доказано
Аналогично решается 
2) (а+6)(b+3)(c+2) - 48√abc = 

Answer 2

Для доведення нерівностей, спочатку розглянемо першу нерівність:

1. (a - 8)(a + 7) > (a + 10)(a - 11)

Спростимо обидві сторони нерівності:

(a - 8)(a + 7) - (a + 10)(a - 11) > 0

Розкриваємо дужки:

a^2 - 8a + 7a - 56 - (a^2 - 10a + 11a - 110) > 0

Скорочуємо подібні члени:

a^2 - a - 56 - a^2 + a + 110 > 0

Залишається:

54 > 0

Ця нерівність є завжди істинною, оскільки 54 - додатне число. Таким чином, перша нерівність виконується для будь-якого значення a.

Тепер розглянемо другу нерівність:

2. (a + 6)(b + 3)(c + 2) > 48√(abc)

Для спрощення, замінимо √(abc) на d:

d = √(abc)

Отже, нам потрібно довести, що:

(a + 6)(b + 3)(c + 2) > 48d

Для спрощення, знайдемо значення d:

d = √(abc)

Тепер підставимо значення d в нерівність:

(a + 6)(b + 3)(c + 2) > 48√(abc)

(a + 6)(b + 3)(c + 2) > 48d

Розкриваємо дужки:

abc + 2ab + 3ac + 6b + 3bc + 9c + 12 > 48d

Замінюємо d на √(abc):

abc + 2ab + 3ac + 6b + 3bc + 9c + 12 > 48√(abc)

Тепер виділимо √(abc) з кожного члена на лівій стороні нерівності:

√(abc)(√(abc) + 2a + 3c + 6b + 3c + 9) > 48√(abc)

Далі спростимо:

(√(abc))^2 + 2a√(abc) + 6b√(abc) + 6c√(abc) + 9√(abc) > 48√(abc)

abc + 2a√(abc) + 6b√(abc) + 6c√(abc) + 9√(abc) > 48√(abc)

Тепер знімемо √(abc) з кожного члена:

abc + 2a + 6b + 6c + 9 > 48

Тепер можемо спростити далі:

abc + 2a + 6b + 6c + 9 - 48 > 0

abc + 2a + 6b + 6c - 39 > 0

Ця нерівність може бути істинною або хибною, залежно від конкретних значень a, b, і c. Тобто, друга нерівність може бути істинною або хибною залежно від вибору чисел a, b, і c.