Question

Помогите решить, пожалуйста Докажите, что x^2+7x+1>-x^2+10x-1 при любом х

Answer 1

Если дискриминант меньше 0 то при любых икс

Answer 2

Давайте начнем с того, чтобы объединить все слагаемые в одной неравенстве:

x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

x^2 + x^2 - 7x - 10x + 1 + 1 > 0

2x^2 - 17x + 2 > 0

Теперь давайте попробуем решить это неравенство с помощью дискриминанта. Неравенство имеет вид ax^2 + bx + c > 0, где a = 2, b = -17 и c = 2. Дискриминант D для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

D = (-17)^2 - 4 * 2 * 2 = 289 - 16 = 273

Так как a > 0, у нас есть два случая:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два различных корня, и значит, неравенство меняет знак на интервалах между корнями.

2. Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня, и значит, неравенство сохраняет знак на всей числовой прямой.

Так как D = 273 > 0, мы имеем первый случай. Давайте найдем корни уравнения 2x^2 - 17x + 2 = 0, чтобы найти интервалы изменения знака:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (17 ± √273) / 4

x ≈ 4.63 или x ≈ 0.18

Теперь мы можем построить таблицу интервалов изменения знака:

интервал	4.63	0.18
2x^2 - 17x + 2 > 0	+	-

Таким образом, неравенство 2x^2 - 17x + 2 > 0 выполняется на интервалах (-∞, 0.18) и (4.63, ∞). Это означает, что исходное неравенство x^2 + 7x + 1 > -x^2 + 10x - 1 выполняется при значениях x в этих интервалах.

Итак, неравенство верно при x < 0.18 и x > 4.63.