Question

Найдите сумму 6 первых членов геометрической прогрессии (bn), если:b1=125, b3=5

Answer 1

S₆=b₁(qⁿ-1)/(q-1)- формула суммы
q-знаменатель геометрической прогрессии,
b₃=b₁·q³⁻¹
5=125·q²
q²=1/25
q=1/5
S₆=125((1/5)⁶-1)/(1/5-1)=(125·1/5⁶-125)÷(-4/5)=(5³/5⁶-5³)÷(-4/5)=-5(1/5³-5³)/4=
624,96/4=156,24
S₆=156,24

Answer 2

Дано, что первый член геометрической прогрессии (будем обозначать его $b_1$) равен 125, и третий член (обозначим его $b_3$) равен 5.

Для геометрической прогрессии, общий член которой задается формулой $b_n = b_1 \cdot r^{(n-1)}$, где $b_n$ - $n$-й член прогрессии, $b_1$ - первый член прогрессии, $r$ - знаменатель прогрессии.

Из условия $b_1 = 125$ и $b_3 = 5$ мы можем составить систему уравнений:

1. $b_3 = b_1 \cdot r^{(3-1)} = 125 \cdot r^2 = 5$.
2. $b_3 = 125 \cdot r^2$.
3. $r^2 = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}$.
4. $r = \pm \frac{1}{5}$.

Теперь у нас есть два возможных значения для знаменателя $r$: $r = \frac{1}{5}$ или $r = -\frac{1}{5}$. Однако знаменатель геометрической прогрессии должен быть положительным, поэтому $r = \frac{1}{5}$.

Теперь, чтобы найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, мы будем использовать формулу для суммы $n$ членов геометрической прогрессии:

$S_n = \frac{b_1 \cdot (1 - r^n)}{1 - r},$

где $S_n$ - сумма первых $n$ членов прогрессии.

Подставляя значения: $b_1 = 125$, $r = \frac{1}{5}$, $n = 6$:

$S_6 = \frac{125 \cdot (1 - \left(\frac{1}{5}\right)^6)}{1 - \frac{1}{5}}.$

Вычислив это выражение, вы получите сумму первых 6 членов геометрической прогрессии.