Question

3 sin в квадрате x-4 sincosx + cos в квадрате x=0

Answer 1

$3sin^{2}x-4sinx*cosx+cos^{2}x=0$ - разделим обе части на квадрат косинуса, т.к. косинус не равен 0 (если косинус равен 0, то и синус должен быть равен 0 - а это невозможно)

$3tg^{2}x-4tgx+1=0$
Замена: tgx=t, t∈R
$3t^{2}-4t+1=0, D=16-4*3*1=4$
$t_{1}= \frac{4-2}{6} =\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
$t_{2}= \frac{4+2}{6} =1$

Вернемся к замене:
1) $tgx= \frac{1}{3}$
$x=arctg \frac{1}{3} + \pi k$, k∈Z
2) $tgx=1$
$x=\frac{ \pi }{4} + \pi k$, k∈Z

Answer 2

У вас есть уравнение вида:

$3 \sin^2(x) - 4 \sin(x) \cos(x) + \cos^2(x) = 0.$

Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения этого уравнения. Начнем с тригонометрического тождества $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, которое является тождеством Пифагора. Мы также можем использовать тригонометрическое тождество $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$.

Подставим первое тождество в уравнение:

$3 \sin^2(x) - 4 \sin(x) \cos(x) + \cos^2(x) = 3(1 - \cos^2(x)) - 4 \sin(x) \cos(x) + \cos^2(x).$

Раскроем скобки:

$3 - 3\cos^2(x) - 4 \sin(x) \cos(x) + \cos^2(x) = 3 - 3\cos^2(x) + \cos^2(x) - 4 \sin(x) \cos(x).$

Теперь заметим, что $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$, следовательно, $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$:

$3 - 3(1 - \sin^2(x)) + (1 - \sin^2(x)) - 4 \sin(x) \cos(x) = 3 - 3 + 3\sin^2(x) + 1 - \sin^2(x) - 4 \sin(x) \cos(x).$

Сократим и упростим:

$1 + 2\sin^2(x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 0.$

Теперь мы можем воспользоваться вторым тригонометрическим тождеством $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$, чтобы заменить $\sin^2(x)$ на $\frac{1 - \cos(2x)}{2}$:

$1 + 2 \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right) - 4 \sin(x) \cos(x) = 1 + 1 - \cos(2x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 2 - \cos(2x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 0.$

Таким образом, у нас есть уравнение:

$2 - \cos(2x) - 4 \sin(x) \cos(x) = 0.$

Данное уравнение может быть использовано для дальнейшего анализа или решения, например, путем преобразования к другим формам или численных методов.