Question

Sin^2x + cos^2 2x=1 решитее

Answer 1

Sin²x+cos²2x=1
sin²x+cos²x-sin²x=1
cos²x=1
cosx=1 
cosx=-1
x=2πn, n∈Z
x=π+2πn, n∈Z

Answer 2

Уравнение $\sin^2 x + \cos^2 2x = 1$ может быть решено следующим образом:

Используем тождество тригонометрии $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$, которое гласит, что сумма квадратов синуса и косинуса любого угла равна 1.

Заметим, что в данном уравнении у нас есть и $\sin$ и $\cos$ функции с различными углами. Давайте преобразуем $\cos^2 2x$ в термины $\sin$ с помощью известного тригонометрического соотношения $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$:

$\cos^2 2x = (1 - 2\sin^2 x)^2 = 1 - 4\sin^2 x + 4\sin^4 x.$

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

$\sin^2 x + (1 - 4\sin^2 x + 4\sin^4 x) = 1.$

Упростим:

$1 - 3\sin^2 x + 4\sin^4 x = 1.$

Переносим все элементы на одну сторону:

$4\sin^4 x - 3\sin^2 x = 0.$

Теперь вынесем $\sin^2 x$ как общий множитель:

$\sin^2 x (4\sin^2 x - 3) = 0.$

Это уравнение имеет два решения:

1. $\sin^2 x = 0$. Это возможно только при $\sin x = 0$, что имеет решения $x = k\pi$, где $k$ - целое число.

2. $4\sin^2 x - 3 = 0$. Решая это уравнение относительно $\sin^2 x$, получаем $\sin^2 x = \frac{3}{4}$, что соответствует $\sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это дает два набора решений: $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, где $k$ - целое число.

Итак, все решения уравнения $\sin^2 x + \cos^2 2x = 1$ представляются как:

$x = k\pi, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,$

где $k$ - целое число.