Question

Исследовать функцию у=кх + м , на монотонность . Доказать , что функция возрастает или убывает с помощью числовых неравенств и их свойст К>0 или к<0

Answer 1

1) Пусть k>0. Возьмём два значения x1 и x2, причём x2>x1. Исследуем разность y(x2)-y(x1)=k*x2+m-(k*x1+m)=k*(x2-x1). Поскольку x2>x1, то x2-x1>0, а тогда - так как k>0 - и y(x2)-y(x1)=k*(x2-x1)>0. Таким образом, при x2>x1 y(x2)>y(x1), а это значит, что при k>0 функция y=k*x+m монотонно возрастает.

2) Пусть теперь k<0. Снова возьмём два значения x1 и x2, причём x2>x1. Исследуем разность y(x2)-y(x1)=k*x2+m-(k*x1+m)=k*(x2-x1). Поскольку x2>x1, то x2-x1>0, но так как k<0, то y(x2)-y(x1)=k*(x2-x1)<0. Таким образом, при x2>x1 y(x2)<y(x1), а это значит, что при k<0 функция y=k*x+m монотонно убывает.

 

Answer 2

Для исследования монотонности функции y = kx + m сначала рассмотрим два случая: когда k > 0 и когда k < 0. Эти случаи соответствуют случаям, когда коэффициент k положителен (функция возрастает) или отрицателен (функция убывает).

1. Когда k > 0: Пусть k > 0. Тогда для любых двух точек x₁ и x₂, таких что x₁ < x₂, имеем:

y₁ = kx₁ + m, y₂ = kx₂ + m.

Вычтем первое уравнение из второго:

y₂ - y₁ = kx₂ + m - (kx₁ + m) = kx₂ - kx₁ = k(x₂ - x₁).

Поскольку x₂ - x₁ > 0 (так как x₂ > x₁), и k > 0, то произведение k(x₂ - x₁) также будет положительным. Это означает, что y₂ - y₁ > 0, следовательно, y₂ > y₁. Таким образом, функция y = kx + m возрастает при k > 0.

2. Когда k < 0: Пусть теперь k < 0. Тогда для любых двух точек x₁ и x₂, таких что x₁ < x₂, имеем:

y₁ = kx₁ + m, y₂ = kx₂ + m.

Вычтем первое уравнение из второго:

y₂ - y₁ = kx₂ + m - (kx₁ + m) = kx₂ - kx₁ = k(x₂ - x₁).

Поскольку x₂ - x₁ > 0 (так как x₂ > x₁), но теперь k < 0, то произведение k(x₂ - x₁) будет отрицательным. Это означает, что y₂ - y₁ < 0, следовательно, y₂ < y₁. Таким образом, функция y = kx + m убывает при k < 0.

Итак, в зависимости от знака коэффициента k функция либо возрастает (для k > 0), либо убывает (для k < 0).