Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=4/x²+x² на отрезке [1;2]

Answer 1

$f(x)= \frac{4}{x^2} +x^2$
$f'(x)= (\frac{4}{x^2} +x^2)'= (4*x^{-2} +x^2)'=-8x^{-3}+2x$


$-8x^{-3}+2x=0$
$\frac{-8}{x^3} +2x=0$
$\frac{-8+2x^4}{x^3} =0$
$2(x^4-4)=0$
$2(x^2-2)(x^2+2)=0$
$x_1= \sqrt{2}$
$x_2=- \sqrt{2}$
ОДЗ: x≠0

$y( \sqrt{2} )= \frac{4}{ (\sqrt{2})^2 } +( \sqrt{2} )^2= \frac{4}{2}+2=2+2=4$ наименьшее
$y(2)= \frac{4}{2^2} +2^2= \frac{4}{4} +4=1+4=5$
$y(1)= \frac{4}{1^2} +1^2= \frac{4}{1} +1=4+1=5$ наибольшее
Ответ: у наиб = 5, у наим =4

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = \frac{4}{x^2} + x^2$ на отрезке $[1;2]$, нужно вычислить значения функции в концах отрезка и в стационарных точках (где производная равна нулю) внутри этого отрезка.

1. Вычислим значения функции на концах отрезка:

   • При $x = 1$: $f(1) = \frac{4}{1^2} + 1^2 = 5$.
   • При $x = 2$: $f(2) = \frac{4}{2^2} + 2^2 = 5$.

2. Теперь найдем производную функции $f(x)$: $f'(x) = -\frac{8}{x^3} + 2x.$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю: $-\frac{8}{x^3} + 2x = 0.$ $2x = \frac{8}{x^3}.$ $2x^4 = 8.$ $x^4 = 4.$ $x = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$.

4. Теперь подставим $x = \sqrt{2}$ в исходную функцию $f(x)$: $f(\sqrt{2}) = \frac{4}{(\sqrt{2})^2} + (\sqrt{2})^2 = 2 + 2 = 4$.

Итак, наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[1;2]$ равно 5 (достигается в точках $x = 1$ и $x = 2$), а наименьшее значение равно 4 (достигается в точке $x = \sqrt{2}$).