Question

Определенный интеграл!!! нижний интеграл 1 верхний 4....(sqrt(x)) (3-(7/x))dx

Answer 1

$\int\limits^4_1 \, \sqrt{x}\cdot (3-\frac{7}{x}) \, dx = \int\limits^4_1\, {(3\sqrt{x}-\frac{7}{\sqrt{x}}) \, dx =( \frac{3x^{3/2}}{3/2} -7\cdot 2\sqrt{x})\Big |_1^4=$

$=(2\sqrt{x^3}-14\sqrt{x})\Big |_1^4=(2\sqrt{4^3}-14\sqrt4)-(2-14)=\\\\=2\cdot 2\cdot 4-14\cdot 2-(-12)=16-28+12=0$

Answer 2

∫1,4(√x(3-7/x)dx=∫1,4(3√x-7x^(-1/2))dx=|4,1(2x-14)√x=(2*4-14)√4-(2-14)=12-12=0

Answer 3

Для вычисления определенного интеграла ∫[1, 4] (sqrt(x))(3 - 7/x) dx сначала нам нужно найти первообразную данной функции и затем использовать значения верхнего и нижнего пределов интегрирования для вычисления разности этих интегралов.

1. Найдем первообразную функцию для (sqrt(x))(3 - 7/x):

   ∫ (sqrt(x))(3 - 7/x) dx = ∫ (3sqrt(x) - 7sqrt(x)/x) dx = 3 * ∫ sqrt(x) dx - 7 * ∫ (sqrt(x)/x) dx

   Первый интеграл можно решить с помощью замены переменной, а второй интеграл может быть решен методом интегрирования по частям.

2. Первый интеграл: ∫ sqrt(x) dx = (2/3) * x^(3/2) + C1, где C1 - константа интегрирования.

3. Второй интеграл: ∫ (sqrt(x)/x) dx = 2 * sqrt(x) + C2, где C2 - константа интегрирования.

4. Итак, суммируя результаты первообразных:

   ∫ (sqrt(x))(3 - 7/x) dx = (2/3) * x^(3/2) - 7 * (2 * sqrt(x)) + C = (2/3) * x^(3/2) - 14 * sqrt(x) + C,

   где C = C1 - 7 * C2 - общая константа интегрирования.

5. Теперь вычислим определенный интеграл для интервала [1, 4]:

   ∫[1, 4] (sqrt(x))(3 - 7/x) dx = [(2/3) * 4^(3/2) - 14 * sqrt(4)] - [(2/3) * 1^(3/2) - 14 * sqrt(1)] = [16/3 - 28] - [2/3 - 14] = -12 - (-12/3) = -12 + 4 = -8.

Итак, значение определенного интеграла ∫[1, 4] (sqrt(x))(3 - 7/x) dx равно -8.