Question

Найдите корни уравнения (x-2/x+1)+(x+1/x-2)=4 1/4

Answer 1

$\frac{x-2}{x+1} + \frac{x+1}{x-2} = 4\frac{1}{4}$
ОДЗ: x ≠ -1, x ≠ 2
$\frac{x^2-4x+4+x^2+2x+1}{(x+1)(x-2)} = \frac{17}{4}$
$\frac{2x^2-2x+5}{(x+1)(x-2)} - \frac{17}{4} = 0$
$\frac{8x^2-8x+20-17x^2+17x+34}{4*(x+1)(x-2)} = 0$
$\frac{-9x^2+9x+54}{4(x+1)(x-2)} = 0$
$-9x^2 +9x+54 = 0$
делим на -9:
$x^2-x-6=0$
по теореме Виета x = 3 , x = -2

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте начнем с упрощения выражения слева от знака равенства:

$\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{(x - 2)^2 + (x + 1)^2}{(x + 1)(x - 2)}$.

Раскроем квадраты в числителе:

$(x - 2)^2 + (x + 1)^2 = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 2x + 1 = 2x^2 - 2x + 5$.

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

$\frac{2x^2 - 2x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = \frac{17}{4}$.

Домножим обе стороны уравнения на $4(x + 1)(x - 2)$:

$4(x + 1)(x - 2) \cdot \frac{2x^2 - 2x + 5}{(x + 1)(x - 2)} = 17 \cdot 4$.

Упростим:

$8x^2 - 8x + 20 = 68$.

Теперь приведем уравнение к квадратному виду:

$8x^2 - 8x - 48 = 0$.

Разделим обе стороны на 8:

$x^2 - x - 6 = 0$.

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться факторизацией:

$(x - 3)(x + 2) = 0$.

Таким образом, у нас есть два корня:

$x - 3 = 0$ => $x = 3$,

$x + 2 = 0$ => $x = -2$.

Итак, корни уравнения $\frac{x - 2}{x + 1} + \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{17}{4}$ равны $x = 3$ и $x = -2$.